高一年级数学下册《平面向量的实际背景及基本概念》PPT教学课件

第二章平面向量平面向量的实际背景及基本概念第二章平面向量帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会开始列为正式比赛项目，帆船的最大动力来源是“伯努利效应”，如果一帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20km/h的速度行驶，而此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，可求得帆船的速度的大小和方向.在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量是只有大小而没有方向，这类量叫做数量；另一类量是既有大小又有方向，即本章要学习的向量.CONTENTS自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航01自主预习学案第二章平面向量你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念(1)向量：既有________，又有________的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有________的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．大小方向方向第二章平面向量(3)有向线段：带有________的线段叫做有向线段．其方向是由________指向________，以A为起点、B为终点的有向线段记作______(如图所示)，线段________的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：________、________、________.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的________就唯一确定．方向起点终点AB起点方向长度终点AB→(3)有向线段：带有________的线段叫做有向线段．其方向是由________指向________，以A为起点、B为终点的有向线段记作______(如图所示)，线段________的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：________、________、________.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的________就唯一确定．AB→第二章平面向量[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在平面上，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段第二章平面向量2.向量的表示法(1)几何表示：用____________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的________(或称模)，如向量AB→的长度记作__________.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a→、b→、c→，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB→.有向线段长度|AB→|2.向量的表示法(1)几何表示：用____________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的________(或称模)，如向量AB→的长度记作__________.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a→、b→、c→，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB→.|AB→|第二章平面向量3．有关概念名称定义记法零向量长度为______的向量叫做零向量0单位向量长度等于______个单位的向量，叫做单位向量相等向量________相等且方向相同的向量叫做相等向量__________说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条____________来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量01长度a＝b有向线段第二章平面向量定义记法平行向量方向________或________的非零向量叫做平行向量__________规定：零向量与任何向量都________0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一________上，因此，平行向量也叫________向量相同相反a∥b平行直线共线第二章平面向量[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量．2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)数量可以比较大小，向量也可以比较大小．(　　)(2)平行向量方向一定相同．(　　)(3)不相等向量一定不平行．(　　)(4)与零向量相等的向量是零向量．(　　)(5)与任何向量都平行的向量是零向量．(　　)(6)共线向量一定在一条直线上．(　　)(7)若两向量平行，则这两向量的方向相同或相反．(　　)×××√√××第二章平面向量2．下列物理量中不是向量的有(　　)(1)质量　(2)速度　(3)力　(4)加速度　(5)路程　(6)密度　(7)功　(8)电流强度A．5　　B．4　　C．3　　D．2[解析]　看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．A第二章平面向量3．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，(1)图中与AB→共线的向量有__________________________________；(2)图中与AB→相等的向量有__________；(3)图中与AB→模相等的向量有_________________________________________；(4)图中与EC→相等的向量有______.[解析]根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．DC→、CD→、BE→、EB→、AE→、EA→、BA→DC→、BE→DC→、CD→、BA→、BE→、EB→、DA→、AD→、CB→、BC→BD→3．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，(1)图中与AB→共线的向量有__________________________________；(2)图中与AB→相等的向量有__________；(3)图中与AB→模相等的向量有_________________________________________；(4)图中与EC→相等的向量有______.[解析]根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．DC→、CD→、BE→、EB→、AE→、EA→、BA→DC→、BE→DC→、CD→、BA→、BE→、EB→、DA→、AD→、CB→、BC→BD→02互动探究学案第二章平面向量给出下列命题：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；命题方向1　向量相等、向量共线的概念⇨(3)典例1(4)若向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确的序号是__________.(4)若向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确的序号是__________.第二章平面向量[思路分析]　从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析](1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．故填(3)．『规律总结』　对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．[解析](1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→，CD→必须在同一直线上．故填(3)．第二章平面向量〔跟踪练习1〕给出下列几种说法：①若非零向量a与b共线，则a＝b；②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的序号是____________.[解析]　①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误.当b＝0时，则a与c就不一定平行了．.①②③④第二章平面向量如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．命题方向2　⇨向量相等或共线综合典例2(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．第二章平面向量[思路分析](1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF→的方向相同的向量．[思路分析](1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF→的方向相同的向量．第二章平面向量[解析](1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与EF→共线的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC，∴EF＝BD＝DC．∵AB，BC，AC均不相等，∴与EF→长度相等的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量为DB→，CD→.[解析](1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与EF→共线的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC，∴EF＝BD＝DC．∵AB，BC，AC均不相等，∴与EF→长度相等的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量为DB→，CD→.第二章平面向量〔跟踪练习2〕如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO→、BO→相等的向量；(2)写出与AO→共线的向量；(3)写出与AO→的模相等的向量；(4)向量AO→与CO→是否相等？〔跟踪练习2〕如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO→、BO→相等的向量；(2)写出与AO→共线的向量；(3)写出与AO→的模相等的向量；(4)向量AO→与CO→是否相等？第二章平面向量[解析](1)AO→＝BF→，BO→＝AE→.(2)与AO→共线的向量为：BF→，CO→，DE→.(3)|AO→|＝|CO→|＝|DO→|＝|BO→|＝|BF→|＝|CF→|＝|AE→|＝|DE→|.(4)不相等．[解析](1)AO→＝BF→，BO→＝AE→.(2)与AO→共线的向量为：BF→，CO→，DE→.(3)|AO→|＝|CO→|＝|DO→|＝|BO→|＝|BF→|＝|CF→|＝|AE→|＝|DE→|.(4)不相等．向量在平面几何中的应用典例3如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB→＝DC→.求证：CNMA．[思路分析]证明AN→＝MC→→四边形AMCN为平行四边形→可得到CNMA如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB→＝DC→.求证：CNMA．[思路分析]证明AN→＝MC→→四边形AMCN为平行四边形→可得到CNMA第二章平面向量[解析]由AB→＝DC→可知AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形，从而AD→＝BC→.又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN→＝MC→，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CN＝MA且CN∥MA，即CNMA．[解析]由AB→＝DC→可知AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形，从而AD→＝BC→.又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN→＝MC→，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CN＝MA且CN∥MA，即CNMA．第二章平面向量『规律总结』利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．常用的两个结论：①若AB→＝DC→，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则AB→＝DC→.②若AB→＝AC→，则A，B，C三点共线；若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．『规律总结』利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．常用的两个结论：①若AB→＝DC→，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则AB→＝DC→.②若AB→＝AC→，则A，B，C三点共线；若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．第二章平面向量〔跟踪练习3〕四边形ABCD中，AB→＝DC→，且|AB→|＝|AC→|，tanD＝3，判断四边形ABCD的形状．〔跟踪练习3〕四边形ABCD中，AB→＝DC→，且|AB→|＝|AC→|，tanD＝3，判断四边形ABCD的形状．第二章平面向量[解析]∵在四边形ABCD中，AB→＝DC→，∴ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵tanD＝3，∴∠B＝∠D＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC，故四边形ABCD是菱形．[解析]∵在四边形ABCD中，AB→＝DC→，∴ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵tanD＝3，∴∠B＝∠D＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC，故四边形ABCD是菱形．给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(　　　)A．0个　　　　　　　　B．1个C．2个D．3个[错解]　D[错因分析]　对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．混淆向量的有关概念典例4第二章平面向量[正确]　A　①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[误区警示]　明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．第二章平面向量〔跟踪练习4〕下列说法正确的是(　　)A．平行向量就是向量所在直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为0D．共线向量是在一条直线上的向量[解析]　平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．C1．下列说法正确的是(　　)A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量[解析]　A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确．C第二章平面向量2．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是()A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤B[解析]|a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确.a|a|是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确．2．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是()A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤[解析]|a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确.a|a|是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确．第二章平面向量D3．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与OA→相等的向量是()A．OC→B．OD→C．OB→D．CO→[解析]OA→与CO→方向相同且长度相等，则OA→＝CO→.3．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与OA→相等的向量是()A．OC→B．OD→C．OB→D．CO→[解析]OA→与CO→方向相同且长度相等，则OA→＝CO→.第二章平面向量A4．在四边形ABCD中，AB→∥CD→，|AB→|≠|CD→|，则四边形ABCD是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形[解析]∵AB→∥CD→，∴AB∥CD．又∵|AB→|≠|CD→|，∴AB≠CD．∴四边形ABCD是梯形．4．在四边形ABCD中，AB→∥CD→，|AB→|≠|CD→|，则四边形ABCD是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形[解析]∵AB→∥CD→，∴AB∥CD．又∵|AB→|≠|CD→|，∴AB≠CD．∴四边形ABCD是梯形．第二章平面向量5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__________.[解析]　模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．一个圆03课时作业学案第二章平面向量谢谢观看数学必修④·人教A版新课标导学