高一年级数学下册（第1课时）《正弦函数余弦函数的性质》PPT教学课件

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时　正弦、余弦函数的性质(一)1.4　三角函数的图象与性质CONTENTS自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航自主预习学案第一章三角函数01如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次。第一章三角函数如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个________常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有________________结论函数f(x)叫做____________，______________叫做这个函数的________非零f(x＋T)＝f(x)周期函数非零常数T周期第一章三角函数(2)最小正周期本书中，在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的______________.正数条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________结论这个最小________叫做f(x)的最小正周期正数最小正周期第一章三角函数[知识点拨]函数周期性的理解(1)不是所有的函数都是周期函数．(2)一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个．(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数f(x)的周期．(4)设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋nT∈M(n∈Z且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．(5)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)都不能说T是f(x)的周期．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．第一章三角函数2．正弦函数、余弦函数的周期(1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(kZ∈，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是________.(2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(kZ∈，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是________.2π2π第一章三角函数[知识点拨]函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期T＝2π|ω|.(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期T＝2π|ω|.[知识点拨]函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期T＝2π|ω|.(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期T＝2π|ω|.第一章三角函数3．正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性(1)正弦函数y＝sinx是______函数，其图象关于________对称．(2)余弦函数y＝cosx是______函数，其图象关于________对称．奇原点偶y轴×1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)因为sin(π4＋π2)＝sinπ4，所以π4可以是函数y＝sinx的一个周期．()(2)任何周期函数都有最小正周期．()(3)函数y＝sinx，x∈[－2π，2π]是周期函数．()(4)函数y＝sin(x＋π2)是奇函数．()(5)正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形．()×××√1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)因为sin(π4＋π2)＝sinπ4，所以π4可以是函数y＝sinx的一个周期．()(2)任何周期函数都有最小正周期．()(3)函数y＝sinx，x∈[－2π，2π]是周期函数．()(4)函数y＝sin(x＋π2)是奇函数．()(5)正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形．()第一章三角函数2．设函数f(x)＝sin(2x－π2)，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数B2．设函数f(x)＝sin(2x－π2)，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数第一章三角函数3．函数y＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为______的周期函数．5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝____________.A3f(x)3．函数y＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为______的周期函数．5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝____________.互动探究学案第一章三角函数02求下列函数的周期．(1)y＝sin12x；(2)y＝2sin(x3－π6)；(3)y＝|cosx|，x∈R.命题方向1　三角函数的周期⇨典例1[思路分析]可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝2π|ω|直接求解．求下列函数的周期．(1)y＝sin12x；(2)y＝2sin(x3－π6)；(3)y＝|cosx|，x∈R.[思路分析]可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝2π|ω|直接求解．第一章三角函数[解析](1)解法1：令u＝12x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.∴sin(12x＋2π)＝sin12x，即sin[12(x＋4π)]＝sin12x.∴y＝sin12x的周期是4π.解法2：(公式法)∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.[解析](1)解法1：令u＝12x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.∴sin(12x＋2π)＝sin12x，即sin[12(x＋4π)]＝sin12x.∴y＝sin12x的周期是4π.解法2：(公式法)∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.第一章三角函数(2)解法1：∵2sin(x3－π6＋2π)＝2sin(x3－π6)，∴2sin[13(x＋6π)－π6]＝2sin(x3－π6)，∴y＝2sin(x3－π6)的周期是6π.解法2：∵ω＝13，∴T＝2π13＝6π.(2)解法1：∵2sin(x3－π6＋2π)＝2sin(x3－π6)，∴2sin[13(x＋6π)－π6]＝2sin(x3－π6)，∴y＝2sin(x3－π6)的周期是6π.解法2：∵ω＝13，∴T＝2π13＝6π.第一章三角函数(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.第一章三角函数『规律总结』求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．『规律总结』求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．第一章三角函数〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin(3x＋π3)；(2)y＝|cos(2x＋π6)|；(3)y＝sin(2πx－π4)．〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin(3x＋π3)；(2)y＝|cos(2x＋π6)|；(3)y＝sin(2πx－π4)．第一章三角函数[解析](1)∵ω＝3，T＝2π3.(2)∵函数y＝cos(2x＋π6)的最小正周期为π，而函数y＝|cos(2x＋π6)|的图象是将函数y＝cos(2x＋π6)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝π2.(3)∵ω＝2π，∴T＝2π2π＝π2.[解析](1)∵ω＝3，T＝2π3.(2)∵函数y＝cos(2x＋π6)的最小正周期为π，而函数y＝|cos(2x＋π6)|的图象是将函数y＝cos(2x＋π6)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝π2.(3)∵ω＝2π，∴T＝2π2π＝π2.第一章三角函数命题方向2　三角函数奇偶性的判断⇨典例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.[思路分析]先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.[思路分析]先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．第一章三角函数[解析](1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)＝－cos3x4，x∈R.∵f(－x)＝－cos(－3x4)＝－cos3x4＝f(x)，∴函数f(x)＝sin(3x4＋3π2)是偶函数．[解析](1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)＝－cos3x4，x∈R.∵f(－x)＝－cos(－3x4)＝－cos3x4＝f(x)，∴函数f(x)＝sin(3x4＋3π2)是偶函数．第一章三角函数(3)函数应满足1＋sinx≠0，则函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋3π2，k∈Z}．显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx为非奇非偶函数．(3)函数应满足1＋sinx≠0，则函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋3π2，k∈Z}．显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx为非奇非偶函数．第一章三角函数『规律总结』1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或f－xfx＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．『规律总结』1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或f－xfx＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．第一章三角函数〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)．[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，求f(5π3)的值．三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3[思路分析]利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析]∵f(x)的最小正周期为π，∴f(5π3)＝f(2π3＋π)＝f(2π3)＝f(π－π3)＝f(－π3)．又f(x)是偶函数．∴f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3＝32.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，求f(5π3)的值．[思路分析]利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析]∵f(x)的最小正周期为π，∴f(5π3)＝f(2π3＋π)＝f(2π3)＝f(π－π3)＝f(－π3)．又f(x)是偶函数．∴f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3＝32.第一章三角函数『规律总结』　1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．第一章三角函数〔跟踪练习3〕若f(x)是以π2为周期的奇函数，且f(π3)＝1，求f(－5π6)的值．[解析]∵f(x)为以π2为周期的奇函数，∴f(－56π)＝－f(56π)＝－f(π2＋π3)＝－f(π3)＝－1.〔跟踪练习3〕若f(x)是以π2为周期的奇函数，且f(π3)＝1，求f(－5π6)的值．[解析]∵f(x)为以π2为周期的奇函数，∴f(－56π)＝－f(56π)＝－f(π2＋π3)＝－f(π3)＝－1.利用定义求f(x)＝sin(2x－π6)的最小正周期．不清楚f(x＋T)表达的意义典例4[错解]∵f(x＋2π)＝sin2x＋2π－π6＝sin2x－π6＋4π＝sin2x－π6＝f(x)，∴T＝2π是f(x)的最小正周期．[错因分析]错解中求的不是最小正周期．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其周期为2πω.利用定义求f(x)＝sin(2x－π6)的最小正周期．[错解]∵f(x＋2π)＝sin2x＋2π－π6＝sin2x－π6＋4π＝sin2x－π6＝f(x)，∴T＝2π是f(x)的最小正周期．[错因分析]错解中求的不是最小正周期．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其周期为2πω.第一章三角函数[正解]令z＝2x－π6，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝2x－π6＋2π＝2(x＋π)－π6，∴f(x＋π)＝sin2x＋π－π6＝sin2x－π6＋2π＝sin2x－π6＝f(x)．∴T＝π.[误区警示]最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．[正解]令z＝2x－π6，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝2x－π6＋2π＝2(x＋π)－π6，∴f(x＋π)＝sin2x＋π－π6＝sin2x－π6＋2π＝sin2x－π6＝f(x)．∴T＝π.[误区警示]最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．第一章三角函数〔跟踪练习4〕对于函数y＝sinx，x∈R有sin(π6＋2π3)＝sinπ6，能否说2π3是它的周期？[解析]不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．〔跟踪练习4〕对于函数y＝sinx，x∈R有sin(π6＋2π3)＝sinπ6，能否说2π3是它的周期？[解析]不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)D第一章三角函数2．函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数3．若函数f(x)＝cos(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为()A．π2B．πC．3π2D．2πAB2．函数y＝sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数3．若函数f(x)＝cos(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为()A．π2B．πC．3π2D．2π第一章三角函数4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝______.[解析]　f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.2第一章三角函数5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－12，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－318)的值．[解析]∵f(x)的周期为1，f(－318)＝f(－4＋18)＝f(18)．又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，∴f(－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f(x)是奇函数，∴f(－18)＝－f(18)，∴f(18)＝32.故f(－318)＝32.5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－12，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－318)的值．[解析]∵f(x)的周期为1，f(－318)＝f(－4＋18)＝f(18)．又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，∴f(－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f(x)是奇函数，∴f(－18)＝－f(18)，∴f(18)＝32.故f(－318)＝32.课时作业学案第一章三角函数03谢谢观看必修④·人教A版新课标导学