高一年级数学下册（第1.2.2课时）《同角三角函数的基本关系》PPT教学课件

1.2.2　同角三角函数的基本关系必修④·人教A版1.2　任意角的三角函数CONTENTS自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航自主预习学案第一章三角函数01第一章三角函数情景引入“物以类聚，人以群分”，之所以“分群”“分类”，是因为同类之间有很多共同点，彼此紧密地联系．我们现在研究的三角函数，同角的正弦、余弦、正切之间有什么关系呢？第一章三角函数新知导学同角三角函数的基本关系式1．公式(1)平方关系：__________________(2)商数关系：______________sin2α＋cos2α＝1.sinαcosα＝tanα.sinαcosα＝tanα.第一章三角函数2．公式推导如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，而且OP＝1.由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.根据三角函数的定义，当α≠kπ＋π2(k∈Z)时，有sinαcosα＝tanα.这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．2．公式推导如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，而且OP＝1.由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.根据三角函数的定义，当α≠kπ＋π2(k∈Z)时，有sinαcosα＝tanα.这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．第一章三角函数[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．第一章三角函数3．常用的等价变形sin2α＋cos2α＝1⇒sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α；tanα＝sinαcosα⇒sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα.3．常用的等价变形sin2α＋cos2α＝1⇒sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α；tanα＝sinαcosα⇒sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα.第一章三角函数[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．第一章三角函数预习自测1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“v”，错误的打“×”．(1)对于任意角α，β，均有sin2α＋cos2β＝1.()(2)存在角α，使得sinα＝cosα＝12.()××1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“v”，错误的打“×”．(1)对于任意角α，β，均有sin2α＋cos2β＝1.()(2)存在角α，使得sinα＝cosα＝12.()第一章三角函数√(3)存在角α，使得tanα＝1，cosα＝22.()(4)当角α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα.()(5)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()××(3)存在角α，使得tanα＝1，cosα＝22.()(4)当角α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα.()(5)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()第一章三角函数2．已知sinα＝78，cosα＝158，则tanα等于()A．78B．158C．157D．71515D[解析]因为tanα＝sinαcosα＝78158＝71515.故选D．2．已知sinα＝78，cosα＝158，则tanα等于()A．78B．158C．157D．71515[解析]因为tanα＝sinαcosα＝78158＝71515.故选D．第一章三角函数3．若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A．125B．－125C．512D．－512D[解析]因为sinα＝－513，且α为第四象限角，所以cosα＝1213，所以tanα＝－512，故选D．3．若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A．125B．－125C．512D．－512[解析]因为sinα＝－513，且α为第四象限角，所以cosα＝1213，所以tanα＝－512，故选D．第一章三角函数cos80°4．化简1－sin2440°＝________________.[解析]原式＝1－sin2360°＋80°＝1－sin280°＝cos280°＝|cos80°|＝cos80°.4．化简1－sin2440°＝________________.[解析]原式＝1－sin2360°＋80°＝1－sin280°＝cos280°＝|cos80°|＝cos80°.互动探究学案第一章三角函数02第一章三角函数互动探究解疑命题方向1　⇨根据同角三角函数关系求值典例1(1)已知sinα＝15，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－35，求sinα，tanα的值．[思路分析]已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．(1)已知sinα＝15，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－35，求sinα，tanα的值．[思路分析]已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．第一章三角函数[解析](1)∵sinα＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－125＝265，tanα＝sinαcosα＝612；当α为第二象限角时，cosα＝－265，tanα＝－612.[解析](1)∵sinα＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－125＝265，tanα＝sinαcosα＝612；当α为第二象限角时，cosα＝－265，tanα＝－612.第一章三角函数(2)∵cosα＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，∴sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45，tanα＝sinαcosα＝－43；当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－352＝－45，tanα＝sinαcosα＝43.(2)∵cosα＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，∴sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45，tanα＝sinαcosα＝－43；当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－352＝－45，tanα＝sinαcosα＝43.第一章三角函数『规律总结』在使用开平方关系sinα＝±1－cos2α和cosα＝±1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．『规律总结』在使用开平方关系sinα＝±1－cos2α和cosα＝±1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．第一章三角函数〔跟踪练习1〕已知sinα＝－45，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．[解析]∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－45)2＝925.又∵α是第三象限角，∴cosα<0，即cosα＝－925＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝(－45)×(－53)＝43.〔跟踪练习1〕已知sinα＝－45，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．[解析]∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－45)2＝925.又∵α是第三象限角，∴cosα<0，即cosα＝－925＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝(－45)×(－53)＝43.第一章三角函数命题方向2　弦化切求值⇨典例2已知tanα＝3.(1)求sinα和cosα的值；(2)求3sinα－cosα2cosα＋sinα的值；(3)求sin2α－3sinαcosα＋1的值．已知tanα＝3.(1)求sinα和cosα的值；(2)求3sinα－cosα2cosα＋sinα的值；(3)求sin2α－3sinαcosα＋1的值．第一章三角函数[思路分析]　tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为cos2α的表达式求解．第一章三角函数[解析](1)tanα＝3＝sinαcosα>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有sinα＝31010cosα＝1010.当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有sinα＝－31010cosα＝－1010.[解析](1)tanα＝3＝sinαcosα>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有sinα＝31010cosα＝1010.当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有sinα＝－31010cosα＝－1010.第一章三角函数(2)∵tanα＝3，∴3sinα－cosα2cosα＋sinα＝3tanα－12＋tanα＝85.(3)∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，∴原式＝sin2α－3sinαcosα＋11＝2sin2α－3sinα·cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tanα＋11＋tan2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1.(2)∵tanα＝3，∴3sinα－cosα2cosα＋sinα＝3tanα－12＋tanα＝85.(3)∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，∴原式＝sin2α－3sinαcosα＋11＝2sin2α－3sinα·cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tanα＋11＋tan2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1.第一章三角函数『规律总结』1.若已知tanα＝m，求形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα(或asin2α＋bcos2αcsin2α＋dcos2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．2．形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．『规律总结』1.若已知tanα＝m，求形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα(或asin2α＋bcos2αcsin2α＋dcos2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．2．形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．第一章三角函数〔跟踪练习2〕已知tanα＝－12，求下列各式的值：(1)sinα＋2cosα；(2)cosα－5sinα3cosα＋sinα；(3)sin2α－sinαcosα－3cos2α5sinαcosα＋sin2α＋1；(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α.〔跟踪练习2〕已知tanα＝－12，求下列各式的值：(1)sinα＋2cosα；(2)cosα－5sinα3cosα＋sinα；(3)sin2α－sinαcosα－3cos2α5sinαcosα＋sin2α＋1；(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α.第一章三角函数[解析](1)tanα＝sinαcosα＝－12，∴cosα＝－2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋4sin2α＝1，∴sin2α＝15，∴sinα＝±55.当α为第二象限角时，sinα＝55，cosα＝－255，sinα＋2cosα＝－355，[解析](1)tanα＝sinαcosα＝－12，∴cosα＝－2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋4sin2α＝1，∴sin2α＝15，∴sinα＝±55.当α为第二象限角时，sinα＝55，cosα＝－255，sinα＋2cosα＝－355，第一章三角函数当α为第四象限角时，cosα＝255，sinα＝－55，sinα＋2cosα＝355.(2)cosα－5sinα3cosα＋sinα＝1－5tanα3＋tanα＝1－5×－123－12＝75.当α为第四象限角时，cosα＝255，sinα＝－55，sinα＋2cosα＝355.(2)cosα－5sinα3cosα＋sinα＝1－5tanα3＋tanα＝1－5×－123－12＝75.第一章三角函数(3)sin2α－sincosα－3cos2α5sincosα＋sin2α＋1＝sin2α－sinαcosα－3cos2α5sinαcosα＋2sin2α＋cos2α＝tan2α－tanα－32tan2α＋5tanα＋1＝－122－－12－32－122＋5－12＋1＝94.(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝2sin2α－sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tanα＋1tan2α＋1＝85.(3)sin2α－sincosα－3cos2α5sincosα＋sin2α＋1＝sin2α－sinαcosα－3cos2α5sinαcosα＋2sin2α＋cos2α＝tan2α－tanα－32tan2α＋5tanα＋1＝－122－－12－32－122＋5－12＋1＝94.(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝2sin2α－sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tanα＋1tan2α＋1＝85.第一章三角函数命题方向3　三角代数式的化简⇨典例3(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[思路分析](1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[思路分析](1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．第一章三角函数[解析](1)原式＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.(2)解法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.[解析](1)原式＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.(2)解法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.第一章三角函数解法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2sin2αcos2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2αsin2α＋sin4α＝1－1＋2cos2αsin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2αsin2α]＝2cos2αsin2α3cos2αsin2α＝23.解法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2sin2αcos2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2αsin2α＋sin4α＝1－1＋2cos2αsin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2αsin2α]＝2cos2αsin2α3cos2αsin2α＝23.第一章三角函数『规律总结』　三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．第一章三角函数〔跟踪练习3〕化简下列各式：(1)sin760°1－cos240°；(2)tanα1sin2α－1(其中α是第二象限角)．〔跟踪练习3〕化简下列各式：(1)sin760°1－cos240°；(2)tanα1sin2α－1(其中α是第二象限角)．第一章三角函数[解析](1)sin760°1－cos240°＝sin2×360°＋40°sin240°＝sin40°|sin40°|＝sin40°sin40°＝1.(2)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·|cosαsinα|＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.[解析](1)sin760°1－cos240°＝sin2×360°＋40°sin240°＝sin40°|sin40°|＝sin40°sin40°＝1.(2)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·|cosαsinα|＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.第一章三角函数命题方向4　三角恒等式的证明⇨典例4求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[思路分析]思路一右式分子分母同乘以tanα－sinα→由右式向左式转化思路二左右两式切化弦→整理化简得证求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[思路分析]思路一右式分子分母同乘以tanα－sinα→由右式向左式转化思路二左右两式切化弦→整理化简得证第一章三角函数[解析]方法一：∵右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．[解析]方法一：∵右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．第一章三角函数方法二：∵左边＝tanαsinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα，∴左边＝右边，原等式成立．方法二：∵左边＝tanαsinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα，∴左边＝右边，原等式成立．第一章三角函数『规律总结』利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明ab＝cd，可证ad＝bc或证db＝ca等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．『规律总结』利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明ab＝cd，可证ad＝bc或证db＝ca等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．第一章三角函数〔跟踪练习4〕求证：2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝cosα1＋sinα－sinα1＋cosα.[解析]证法一：右边＝cosα＋cos2α－sinα－sin2α1＋sinα1＋cosα＝cosα－sinα1＋cosα＋sinα1＋sinαcosα＋sinα＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα21＋sinα＋cosα＋sinαcosα〔跟踪练习4〕求证：2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝cosα1＋sinα－sinα1＋cosα.[解析]证法一：右边＝cosα＋cos2α－sinα－sin2α1＋sinα1＋cosα＝cosα－sinα1＋cosα＋sinα1＋sinαcosα＋sinα＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα21＋sinα＋cosα＋sinαcosα第一章三角函数＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sin2α＋cos2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα2＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝左边．∴原式得证．证法二：要证等式，即证2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα1＋cosα，＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sin2α＋cos2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα2＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝左边．∴原式得证．证法二：要证等式，即证2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα1＋cosα，第一章三角函数只需证2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋cosα)2，即证2＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα，即证1＝sin2α＋cos2α，此时显然成立，∴原式得证．只需证2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋cosα)2，即证2＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα，即证1＝sin2α＋cos2α，此时显然成立，∴原式得证．第一章三角函数学科核心素养sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用第一章三角函数典例5已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求sinθ，cosθ，sinθ－cosθ，tanθ，sin3θ＋cos3θ的值．[解析]本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．∵sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，∴1＋2sinθ·cosθ＝125，∴2sinθ·cosθ＝－2425<0.又θ∈(0，π)，sinθ>0，∴cosθ<0，∴θ∈(π2，π)．∴sinθ－cosθ>0.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求sinθ，cosθ，sinθ－cosθ，tanθ，sin3θ＋cos3θ的值．[解析]本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．∵sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，∴1＋2sinθ·cosθ＝125，∴2sinθ·cosθ＝－2425<0.又θ∈(0，π)，sinθ>0，∴cosθ<0，∴θ∈(π2，π)．∴sinθ－cosθ>0.第一章三角函数∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋2425＝4925，∴sinθ－cosθ＝75，∴sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75⇒sinθ＝45，cosθ＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝45－35＝－43，sin3θ＋cos3θ＝37125.∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋2425＝4925，∴sinθ－cosθ＝75，∴sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75⇒sinθ＝45，cosθ＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝45－35＝－43，sin3θ＋cos3θ＝37125.第一章三角函数『规律总结』　在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．第一章三角函数〔跟踪练习5〕已知sinθ、cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ.[解析]∵sinθ＋cosθ＝m，sinθ·cosθ＝2m－14，Δ＝16m2－2m＋1≥0，代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得m＝1±32.〔跟踪练习5〕已知sinθ、cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ.[解析]∵sinθ＋cosθ＝m，sinθ·cosθ＝2m－14，Δ＝16m2－2m＋1≥0，代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得m＝1±32.第一章三角函数又∵3π2<θ<2π.∴sinθ·cosθ＝2m－14<0，sinθ＋cosθ＝m＝1－32，∴sinθ＝－32，cosθ＝12.又∵3π2<θ<2π，∴θ＝5π3.又∵3π2<θ<2π.∴sinθ·cosθ＝2m－14<0，sinθ＋cosθ＝m＝1－32，∴sinθ＝－32，cosθ＝12.又∵3π2<θ<2π，∴θ＝5π3.第一章三角函数易错易混警示忽略隐含条件致错典例6已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝3－12，则tanθ的值为___________.[错解]将sinθ＋cosθ＝3－12两边平方，得1＋2sinθcosθ＝1－32，即sinθcosθ＝－34，易知θ≠π2.故sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝－34，解得tanθ＝－3或tanθ＝－33.已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝3－12，则tanθ的值为___________.[错解]将sinθ＋cosθ＝3－12两边平方，得1＋2sinθcosθ＝1－32，即sinθcosθ＝－34，易知θ≠π2.故sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝－34，解得tanθ＝－3或tanθ＝－33.第一章三角函数[错因分析]题设条件sinθ＋cosθ＝3－12隐含sinθ>－cosθ这一条件，结合所得sinθcosθ＝－34<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解．[正解]－3同错解，解得tanθ＝－3或tanθ＝－33.∵θ∈(0，π)，sinθcosθ＝－34<0，∴θ∈(π2，π)，由sinθ＋cosθ＝3－12>0可得sinθ>－cosθ，即|sinθ|>|cosθ|，故θ∈(π2，3π4)，则tanθ<－1，∴tanθ＝－3.[错因分析]题设条件sinθ＋cosθ＝3－12隐含sinθ>－cosθ这一条件，结合所得sinθcosθ＝－34<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解．[正解]－3同错解，解得tanθ＝－3或tanθ＝－33.∵θ∈(0，π)，sinθcosθ＝－34<0，∴θ∈(π2，π)，由sinθ＋cosθ＝3－12>0可得sinθ>－cosθ，即|sinθ|>|cosθ|，故θ∈(π2，3π4)，则tanθ<－1，∴tanθ＝－3.第一章三角函数[误区警示]　有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．第一章三角函数〔跟踪练习6〕已知sinαcosα＝18，且π<α<5π4，则cosα－sinα的值为________.[解析]∵(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，且π<α<5π4，∴cosα