高二年级数学上册（第3.4.1课时）《基本不等式》PPT教学课件

TEMPLATE第三章不等式主讲人：XXX3.4第一课时基本不等式CONTENTS目录学习目标LEARNINGOBJECTIVES—————————————————————————————————1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．TEMPLATETEMPLATEPARTONE学习目标LEARNINGOBJECTIVESTEMPLATE学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？[提示]a＋b≥2ab.≥1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？[提示]a＋b≥2ab.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数．a，b均为正实数a＝b2．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数．学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为____；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数．思考：a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？[提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.ab不小于3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为____；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数．思考：a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？[提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.ab学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s2时，积xy有最值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝p时，和x＋y有最值为______.x＋y24小大2xy4．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s2时，积xy有最值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝p时，和x＋y有最值为______.x＋y242xy学习目标LEARNINGOBJECTIVES5．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示]三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．正数定值定值5．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示]三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(4)函数f(x)＝x2＋2x2＋1的最小值为22－1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(4)函数f(x)＝x2＋2x2＋1的最小值为22－1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________.400[因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤x＋y22＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________.400[因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤x＋y22＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.16[设一边长为xm，则另一边长可表示为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤x＋8－x22＝16，当且仅当x＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4m时面积取到最大值16m2.]3．把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.16[设一边长为xm，则另一边长可表示为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤x＋8－x22＝16，当且仅当x＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4m时面积取到最大值16m2.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．给出下列说法：①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb；③若x∈R且x≠0，则x＋4x≥4.其中正确说法的序号是________.①③[①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4成立．]4．给出下列说法：①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb；③若x∈R且x≠0，则x＋4x≥4.其中正确说法的序号是________.①③[①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4成立．]TEMPLATEPARTTWO合作探究COOPERATIVEINQUIRYTEMPLATE合作探究COOPERATIVEINQUIRY利用基本不等式比较大小例1、已知00，b>0，所以a＋b≥2ab，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.又因为00，b>0，所以a＋b≥2ab，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.又因为02)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.(2)若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．[跟踪训练]1．(1)已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.(2)若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．合作探究COOPERATIVEINQUIRY(1)m>n(2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2a－2·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.(2)因为a>b>1，所以lga>lgb>0，所以Q＝12(lga＋lgb)>lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lga＋lgb＝lgabn(2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2a－2·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.(2)因为a>b>1，所以lga>lgb>0，所以Q＝12(lga＋lgb)>lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lga＋lgb＝lgabab＋bc＋ca.利用基本不等式证明不等式例2、已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0，∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca.[解]∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0，∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．[规律方法]1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.[证明]因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理，1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．[跟踪训练]2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.[证明]因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理，1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．合作探究COOPERATIVEINQUIRY基本不等式的实际应用例3、如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图341基本不等式的实际应用例3、如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图341合作探究COOPERATIVEINQUIRY(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？②已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？②已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.合作探究COOPERATIVEINQUIRY法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x>0，∴9－32y>0，∴00，∴S≤32·6－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x>0，∴9－32y>0，∴00，∴S≤32·6－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．合作探究COOPERATIVEINQUIRY(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3yxy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3yxy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616y＋y≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]设污水池的长为x米，则宽为400x米，总造价y＝(2x＋2·400x)·200＋2×250·400x＋80×400＝400x＋900x＋32000≥400×2x·900x＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝900x，即x＝30时取等号．故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56000元.[解]设污水池的长为x米，则宽为400x米，总造价y＝(2x＋2·400x)·200＋2×250·400x＋80×400＝400x＋900x＋32000≥400×2x·900x＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝900x，即x＝30时取等号．故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56000元.合作探究COOPERATIVEINQUIRY利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x2＋y2≥2xy知xy≤x2＋y22，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是x2＋y22吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x2＋y2≥2xy知xy≤x2＋y22，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是x2＋y22吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋b2≥ab(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x<0时，y＝－－x－1x≤－2－x·－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x<0时，y＝－－x－1x≤－2－x·－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．合作探究COOPERATIVEINQUIRY例4、(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知00，求f(x)＝2xx2＋1的最大值；(4)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值.例4、(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知00，求f(x)＝2xx2＋1的最大值；(4)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值.合作探究COOPERATIVEINQUIRY思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．(1)4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3.(2)12x(1－2x)＝14·2x·(1－2x)．(3)2xx2＋1＝2x＋1x.(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)1x＋9y.思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．(1)4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3.(2)12x(1－2x)＝14·2x·(1－2x)．(3)2xx2＋1＝2x＋1x.(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)1x＋9y.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)∵x<54，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.[解](1)∵x<54，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY(2)∵00，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋1－2x22＝14×14＝116，∴当且仅当2x＝1－2x00，∴x＋1x≥2x·1x＝2，∴f(x)≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．(4)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)∵00，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋1－2x22＝14×14＝116，∴当且仅当2x＝1－2x00，∴x＋1x≥2x·1x＝2，∴f(x)≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．(4)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x>54，求函数f(x)＝4x－2＋14x－5的值域．[解]∵x>54，∴4x－5>0，∴f(x)＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5.即x＝32时，等号成立．f(x)的值域为[5，＋∞)．母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x>54，求函数f(x)＝4x－2＋14x－5的值域．[解]∵x>54，∴4x－5>0，∴f(x)＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5.即x＝32时，等号成立．f(x)的值域为[5，＋∞)．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最值如何求解？[解]由f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3①当x>54时，4x－5>0∴f(x)＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x－5＝14x－5时等号成立即x＝32时f(x)min＝5.2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最值如何求解？[解]由f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3①当x>54时，4x－5>0∴f(x)＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x－5＝14x－5时等号成立即x＝32时f(x)min＝5.合作探究COOPERATIVEINQUIRY②当x<54时，4x－5<0.f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.②当x<54时，4x－5<0.f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法：①构造不等式：利用ab≤a＋b22，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.[规律方法]利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法：①构造不等式：利用ab≤a＋b22，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.合作探究COOPERATIVEINQUIRY(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立.TEMPLATEPARTTHREE当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURTTEMPLATE当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1．（2019年静宁县月考）若00，logba>0，所以logab＋logba＝logab＋1logab≥2logab·1logab＝2.当且仅当logab＝logba即a＝b时取“＝”．]1．（2019年静宁县月考）若00，logba>0，所以logab＋logba＝logab＋1logab≥2logab·1logab＝2.当且仅当logab＝logba即a＝b时取“＝”．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．（2019年镇海区模拟）已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a2＋b2有最________值为________.【答案】大12小2[由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤12，故ab有最大值为12；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.]2．（2019年镇海区模拟）已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a2＋b2有最________值为________.【答案】大12小2[由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤12，故ab有最大值为12；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3．若00，故x3－2x＝12·2x3－2x≤12·2x＋3－2x2＝324，当且仅当x＝34时，上式等号成立．所以00，故x3－2x＝12·2x3－2x≤12·2x＋3－2x2＝324，当且仅当x＝34时，上式等号成立．所以00)．因为x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1760(元)．]4．（2019年兴洲区校级月考）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为________元.【答案】1760[设池底一边长为xm，总造价为y元．则y＝4×120＋22x＋2×4x×80＝320x＋4x＋480(x>0)．因为x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1760(元)．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT5．（2019年湖北模拟）已知函数f(x)＝x＋1x.(1)已知x>0，求函数f(x)的最小值．(2)已知x<0，求函数f(x)的最大值．(3)已知x∈[2,4]，求f(x)的最值．【答案】(1)∵x>0，∴f(x)＝x＋1x≥2.当且仅当x＝1时等号成立．∴f(x)的最小值为2.(2)∵x<0，∴f(x)＝x＋1x＝－－x＋1－x≤－2.当且仅当x＝－1时等号成立．∴f(x)的最大值为－2.5．（2019年湖北模拟）已知函数f(x)＝x＋1x.(1)已知x>0，求函数f(x)的最小值．(2)已知x<0，求函数f(x)的最大值．(3)已知x∈[2,4]，求f(x)的最值．【答案】(1)∵x>0，∴f(x)＝x＋1x≥2.当且仅当x＝1时等号成立．∴f(x)的最小值为2.(2)∵x<0，∴f(x)＝x＋1x＝－－x＋1－x≤－2.当且仅当x＝－1时等号成立．∴f(x)的最大值为－2.当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT(3)设2≤x10，x1x2>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x1x2>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)