高一年级数学上册(第2.3.1课时)《等差数列的前n项和》PPT教学课件

第二章数列主讲人：xxx2.3.1等差数列等差数列的前n项和第1课时HomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNIN学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．目录CONTENSHomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNIN01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．数列的前n项和的概念一般地，称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]an＝Sn－Sn－1n≥2S1n＝1a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an1．数列的前n项和的概念一般地，称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]an＝Sn－Sn－1n≥2S1n＝1学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝___________Sn＝____________思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？[提示]S3＝3a1＋a32＝3a2＝21.na1＋an2na1＋nn－12d2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝___________Sn＝____________思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？[提示]S3＝3a1＋a32＝3a2＝21.na1＋an2na1＋nn－12d学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．()(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.()[答案](1)√(2)×(3)×[基础自测]1．思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．()(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.()[答案](1)√(2)×(3)×学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.nn＋12[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.24[由S10＝10a1＋a102＝120.解得a1＋a10＝24.]2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.nn＋12[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.24[由S10＝10a1＋a102＝120.解得a1＋a10＝24.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6＝________.48[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32×d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6＝________.48[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32×d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.]HomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNIN02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差数列前n项和的有关计算例1、在等差数列{an}中，(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.等差数列前n项和的有关计算例1、在等差数列{an}中，(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)由题意得，Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.∴n＝15，d＝－16.(2)由已知得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.[解](1)由题意得，Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.∴n＝15，d＝－16.(2)由已知得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.[规律方法]a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.[解](1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.[跟踪训练]1．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.[解](1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.合作探究COOPERATIVEINQUIRYan与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？提示：使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？提示：a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.an与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？提示：使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？提示：a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.合作探究COOPERATIVEINQUIRY3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．合作探究COOPERATIVEINQUIRY例2、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．例2、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．[解](1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.[解]由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝3，n＝1，2n，n≥2.母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.[解]由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝3，n＝1，2n，n≥2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝14(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．[解]当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1)．2．(变条件变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝14(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．[解]当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1)．合作探究COOPERATIVEINQUIRY整理得：b2n－b2n－1－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．∴{bn}为等差数列．又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.整理得：b2n－b2n－1－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．∴{bn}为等差数列．又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：（1）当n＝1时，a1＝S1.（2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.（3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.[规律方法]已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：（1）当n＝1时，a1＝S1.（2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.（3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差数列前n项和公式的实际应用例3、某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？等差数列前n项和公式的实际应用例3、某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？合作探究COOPERATIVEINQUIRY思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．[解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.[规律方法]1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.[跟踪训练]2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2000[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2000(米)．]2000[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2000(米)．]HomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNINHomeSpringDealServiceLocationSIGNIN03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12【答案】B[通解设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴33a1＋3×22d＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.优解设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×22d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12【答案】B[通解设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴33a1＋3×22d＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.优解设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×22d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．（2019年安庆期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝5a1＋a52＝5×2a32＝5.]2．（2019年安庆期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝5a1＋a52＝5×2a32＝5.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]3．（2019年佛山模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则()A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－1【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]3．（2019年佛山模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则()A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－1当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT4．（2019年汕头期末）在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.【答案】190[S19＝19a1＋a192＝19×2a102＝190.]5．（2019年厦门模拟）已知等差数列{an}中，a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及a12.【答案】∵Sn＝n·32＋nn－12·－12＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.4．（2019年汕头期末）在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.【答案】190[S19＝19a1＋a192＝19×2a102＝190.]5．（2019年厦门模拟）已知等差数列{an}中，a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及a12.【答案】∵Sn＝n·32＋nn－12·－12＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.第二章数列主讲人：xxx2.3.1等差数列谢谢各位同学倾听THANKYOUFORLISTENING