高二年级数学上册（第3.1课时）《 不等关系与不等式》PPT教学课件

第三章不等式主讲人：XXX3.1不等关系与不等式不等式CONTENS学习目标LEARNINGOBJECTIVES—————————————————————————————————1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．PART01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有；(2)不等关系用来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于________________思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？＜，≤，＞，≥，≠不等式＞≥＜≤≤≥≥≤1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有；(2)不等关系用来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于________________思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？学习目标LEARNINGOBJECTIVES[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab⇔bb，b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c推论a＋b>c⇒a>c－b性质4(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒acb⇔bb，b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c推论a＋b>c⇒a>c－b性质4(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd性质7(乘方性)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)性质8(开方性)a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)性质5(不等式同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd性质7(乘方性)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)性质8(开方性)a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)学习目标LEARNINGOBJECTIVES思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？(1)a>b且c>d则a－c>b－d.(2)a>b则ac>bc.(3)a>b>0且c>d>0则ac>bd.(4)a>b>0则an>bn.(5)a>b则ac2>bc2.思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？(1)a>b且c>d则a－c>b－d.(2)a>b则ac>bc.(3)a>b>0且c>d>0则ac>bd.(4)a>b>0则an>bn.(5)a>b则ac2>bc2.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[提示]对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．(2)中当c≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错．(5)因为1c2>0，所以a·1c2>b·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．[提示]对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．(2)中当c≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错．(5)因为1c2>0，所以a·1c2>b·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若ab，则ac>bc一定成立．()(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[基础自测]1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若ab，则ac>bc一定成立．()(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.(2)正确．不等式a≤b表示ab，则ac>bc不一定成立．(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.提示：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.(2)正确．不等式a≤b表示ab，则ac>bc不一定成立．(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40C[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40C[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则()A．ad>bcB．ac>bcC．a－c>b－dD．a＋c>b＋dD[a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项．]3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则()A．ad>bcB．ac>bcC．a－c>b－dD．a＋c>b＋dD[a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项．]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．m≥n[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.]4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．m≥n[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.]PART02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY用不等式表示不等关系例1、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系.用不等式表示不等关系例1、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以00，ab>0，(a－b)2≥0，∴a－b2a＋bab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．[解]法一：(作差法)ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab.∵a，b为正实数，∴a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0，∴a－b2a＋bab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：(作商法)ba＋aba＋b＝b3＋a3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1，当且仅当a＝b时取等号．∵ba＋ab>0，a＋b>0，∴ba＋ab≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．法二：(作商法)ba＋aba＋b＝b3＋a3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1，当且仅当a＝b时取等号．∵ba＋ab>0，a＋b>0，∴ba＋ab≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．合作探究COOPERATIVEINQUIRY法三：(平方后作差)∵ab＋ba2＝a2b＋b2a＋2ab，(a＋b)2＝a＋b＋2ab，∴ab＋ba2－(a＋b)2＝a＋ba－b2ab.∵a>0，b>0，∴a＋ba－b2ab≥0，又ab＋ba>0，a＋b>0，故ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．法三：(平方后作差)∵ab＋ba2＝a2b＋b2a＋2ab，(a＋b)2＝a＋b＋2ab，∴ab＋ba2－(a＋b)2＝a＋ba－b2ab.∵a>0，b>0，∴a＋ba－b2ab≥0，又ab＋ba>0，a＋b>0，故ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.[规律方法]1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解](x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.因为x<1，所以x－1<0.又x－122＋34>0，所以(x－1)x－122＋34<0.所以x3－1<2x2－2x.[跟踪训练]2．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解](x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.因为x<1，所以x－1<0.又x－122＋34>0，所以(x－1)x－122＋34<0.所以x3－1<2x2－2x.合作探究COOPERATIVEINQUIRY不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2a>b>0，求证：ac－a>bc－b.思路探究：①如何证明caa>b>0，∴c－a>0，c－b>0.由a>b>0⇒1a<1bc>0⇒ca0c－b>0a>0b>0⇒ac－a>bc－b例3、已知c>a>b>0，求证：ac－a>bc－b.思路探究：①如何证明caa>b>0，∴c－a>0，c－b>0.由a>b>0⇒1a<1bc>0⇒ca0c－b>0a>0b>0⇒ac－a>bc－b合作探究COOPERATIVEINQUIRY探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：ca>cb.[证明]因为a>b>0，所以ab>0，1ab>0.于是a×1ab>b×1ab，即1b>1a.由c<0，得ca>cb.探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：ca>cb.[证明]因为a>b>0，所以ab>0，1ab>0.于是a×1ab>b×1ab，即1b>1a.由c<0，得ca>cb.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6a>b>0”变为“已知－6380z>45[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.]1．（2019年海淀区模拟）某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为________．【答案】x≥95y>380z>45[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．（2019年厦门模拟）若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a0，所以a＋b1b，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③错误．]2．（2019年厦门模拟）若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a0，所以a＋b1b，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③错误．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3．（2019年嘉兴期中）已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．【答案】<[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]4．（2019年九江模拟）若8”“<”或“＝”)．【答案】<[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]4．（2019年九江模拟）若8