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最新6年高考4年模拟试题试卷--第十二章概率与统计(答案解析)

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最新6年高考4年模拟试题试卷--第十二章概率与统计(答案解析)文字介绍:第十二章概率与统计第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010辽宁理）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）12(B)512(C)14(D)16【答案】B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)=P(A1)+P(A2)=211335+=434122.（2010江西理）11.一位国的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国荟方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p，则A.1p=2pB.1p<2pC.1p>2pD。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C，作差得1p<2p。3.（2010安徽文）（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）318（A）418（A）518（A）618【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.4.（2010北京文）⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（A）45(B)35（C）25(D)15【答案】D5.（2010广东理）8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒【答案】C每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．6.（2010湖北理）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是A512B12C712D34二、填空题1.（2010上海文）10.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）。【答案】351解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为513252213CC2.（2010湖南文）11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为。【答案】13【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。3.（2010辽宁文）（13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为。【答案】13解析：题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,,BEEEBEEEB，概率为：1.34.（2010重庆文）（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p5.（2010重庆理）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________.解析：由251612p得53p6.（2010湖北文）13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。【答案】0.9744【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916PC；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P，故至少有3人被治愈概率120.9744PPP7.（2010湖南理）11．在区间上随机取一个数x，则的概率为8.（2010湖南理）9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g9.（2010安徽理）15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,AA和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。①25PB；②15|11PBA；③事件B与事件1A相互独立；④123,,AAA是两两互斥的事件；⑤PB的值不能确定，因为它与123,,AAA中哪一个发生有关【答案】②④【解析】易见123,,AAA是两两互斥的事件，而1235524349()|||10111011101122PBPBAPBAPBA。【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在123,,AAA是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化123()|||PBPBAPBAPBA，可知事件B的概率是确定的.10.（2010湖北理）14．某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，则y的值为.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39,780.190.3108.9xyxy联合解得0.4y.11.（2010福建理）13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。【答案】0．128【解析】由题意知，所求概率为2425C0.80.2=0.128。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。12.（2010江苏卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___.【解析】考查古典概型知识。3162p三、解答题1.（2010浙江理）19.(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(P．解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为ξ50％70％90％p31638716则Εξ=316×50％+38×70％+71690％=34.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916.由题意得η～（3，916）则P（η=2）=23C(916)2(1-916)=17014096.2.（2010全国卷2理）（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.3.（2010全国卷2文）（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电源能通过T1，T2，T3的概率都是P，电源能通过T4的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999。（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。4.（2010江西理）18.（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，61(1)3P，111(3)326P，111(4)326P，22111(6)()1323PA分布列为：1346P13161613（2）11117134636632E小时5.（2010重庆文）（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.6.（2010北京理）(17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123p6125ad24125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。解：事件iA表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知14()5PA，2()PAp，3()PAq（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1125125P，（II）由题意知12316(0)()(1)(1)5125PPAAApq123424(3)()5125PPAAApq整理得6125pq，1pq由pq，可得35p，25q.（III）由题意知123123123(1)()()()aPPAAAPAAAPAAA=411(1)(1)(1)(1)555pqpqpq37125(2)1(0)(1)(3)bPPPP=581250(0)1(1)2(2)3(3)EPPPP=957.（2010四川理）（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=16P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15252()66216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216……………………………………6分（2）ξ的可能值为0,1,2,3P(ξ=k)=3315()()66kkkC(k=0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P12521625725721216Eξ=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12………………………………………………12分8.（2010天津理）（18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~25,3B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率22252240(2)133243PXC（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)iAi；“射手在5次射击中有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则123451234512345()()()()PAPAAAAAPAAAAAPAAAAA=3232321121123333333=881（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6312311(0)()327PPAAA123123123(1)()()()PPAAAPAAAPAAA=2221121122333333391232124(2)()33327PPAAA123123(3)()()PPAAAPAAA2221118333327123(6)()PPAAA328327所以的分布列是9.（2010广东文）17.（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计554510010.（2010福建文）18．（本小题满分12分）设平顶向量ma＝（m,1）,nb=(2,n)，其中m，n{1,2,3,4}．（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得ma（ma-nb）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率。11.（2010全国卷1理）(18)(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．12.（2010四川文）（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.13.（2010山东理）P(=4)=312+423112423311423=1124，所以的分布列为234()P1810241124数学期望E=128+10324+41124=103。【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。14.（2010福建理）0149P16131316所以E=106113143196196。15.（2010江苏卷）22.本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。[解析]本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X1052-3P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件。由题设知4(4)10nn，解得145n，又nN，得3n，或4n。所求概率为33440.80.20.80.8192PC答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。2009年高考题一、选择题1.（09山东11）在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于0到12之间的概率为（）A．13B．2C．12D．23【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2x的值介于0到21之间,需使223x或322x∴213x或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于0到21之间的概率为31232.故选A.答案A2.(09山东文)在区间[,]22上随机取一个数x，cosx的值介于0到21之间的概率为().A.31B.2C.21D.32【解析】在区间[,]22上随机取一个数x,即[,]22x时,要使cosx的值介于0到21之间,需使23x或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于0到21之间的概率为313.故选A.答案A3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这ABCDEF6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225CC种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,ACDBADCBAEBF//,//,//AFBECEFDCFED共12对，所以所求概率为12422575p，选D答案　　D４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A.1B.C.D.0【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有36C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。答案A5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）A．16B．14C．13D．12【解析】所有可能的比赛分组情况共有22424122!CC种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种故选D.答案D6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A．3181B．3381C．4881D．5081【解析】5553(323)50381P故选D答案D7.（2009四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝618.0215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613答案A8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．4B．14C．8D．18【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2因此取到的点到O的距离小于1的概率为2÷2＝4取到的点到O的距离大于1的概率为14答案B９.（2009年上海卷理）若事件E与F相互独立，且14PEPF，则PEFI的值等于（）A．0B．116C．14D．12【解析】PEFI＝1144PEPF＝116答案B二、填空题10.（2009广东卷理）已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX，1DX，则a，b．【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案11.（2009安徽卷理）若随机变量2~(,)XN，则()PX=________.答案1212.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5，故34334PC=0.75.答案0.7513.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.【解析】考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。答案0.214.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s答案15.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76答案0.240.7616.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。【解析】如图可设1AB,则1AB,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。答案2317．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127则该样本标准差s（克）（用数字作答）．【解析】因为样本平均数1(125124121123127)1245x，则样本方差2222221(1313)4,5sO所以2s答案2三、解答题18、（2009浙江卷理）（本题满分14分）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望E．解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则12453910()21CCPAC；（II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123E19、（2009北京卷文）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件0,1,2kBk.则由题意，得40216381PB，132212142412321224,33813381PBCPBC.由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为01289PBPBPBPB.20、（2009北京卷理）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4），∴441220,1,2,3,433kkkPkCk，∴即的分布列是02468P16813281827881181∴的期望是163288180246881812781813E.21、(2009山东卷理)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03P1P2P3P4（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。解（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,()0.75PA,P(B)=q2,2()1PBq.根据分布列知:=0时22()()()()0.75(1)PABBPAPBPBq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.（2）当=2时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP)()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75q2(21q)×2=1.5q2(21q)=0.24当=3时,P2=22()()()()0.25(1)PABBPAPBPBq=0.01,当=4时,P3=22()()()()0.75PABBPAPBPBq=0.48,当=5时,P4=()()()PABBABPABBPAB222()()()()()0.25(1)0.25PAPBPBPAPBqqq=0.24所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB()()()PBBBPBBBPBB222222(1)0.896qqq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.22、（2009安徽卷理）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。解随机变量X的分布列是X123P131216X的均值为111111233266EX附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人在情形⑥之下，A直接感染了三个人。23、（2009江西卷理）（本小题满分12分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．(1)写出的分布列；(2)求数学期望E．解（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,301(0)64P3(5)32P15(10)64P5(15)16P15(20)64P3(25)32P1(30)64P（2）315515315101520253015326416643264E.24、(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量＝x＋y，求的分布列和数学期望。解依题意，可分别取5、6、11取，则有1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为567891011p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.25、（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）解（Ⅰ）依题意X的分列为（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，11111122AABABABAB,所求的概率为11111122()()()()PAPABPABPABPAB（）11111122()()())()()()PABPAPBPAPBPAPB（0.10.90.90.10.10.10.30.30.28……26、（2009湖南卷文）（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,iiiABCi=1，2，3.由题意知123,,AAA相互独立，123,,BBB相互独立，123,,CCC相互独立，,,ijkABC（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且111(),(),().236iiiPAPBPC（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233!()PABC1236()()()PAPBPC11116.2366（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P=1231()PBBB1231()()()PBPBPB31191(1).32727、（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解记“第i局甲获胜”为事件)5,4,3(iAi，“第j局甲获胜”为事件)5,4,3(jBi。（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则4343BBAAA，由于各局比赛结果相互独立，故)()()()()()()()(434343434343BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP52.04.04.06.06.0。（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而54354343ABAAABAAB，由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343ABAAABAAPBP648.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()()()(5435434354354343APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP28、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1(Ⅰ)求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。解解答1（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”所以()()()0.40.50.9PABPAPB（Ⅱ）设事件iA表示“第i个月被投诉的次数为0”事件iB表示“第i个月被投诉的次数为1”事件iC表示“第i个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”所以()0.4,()0.5,()0.1(1,2)iiiPAPBPCi所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为1221()PACAC一、二月份均被投诉1次的概率为12()PBB所以122112122112()()()()()()PDPACACPBBPACPACPBB由事件的独立性的()0.40.10.10.40.50.50.33pD解答2（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”所以()0.1,()1()10.10.9pAPBPA(Ⅱ)同解答1（Ⅱ）29、(2009湖南卷理)（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23AA相互独立，1B23BB相互独立，1C23CC相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（1A）=，P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C）=6121316=16(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13），且=3。所以P（=0）=P（=3）=13C31()3=127，P（=1）=P（=2）=23C31()32()3=29P（=2）=P（=1）=13C1()322()3=49P（=3）=P（=0）=03C32()3=827故的分布是0123P1272949827的数学期望E=0127+129+249+3827=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3，由此已知，1D·D，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C）=P（1A）+P（1C）=12+16=23所以--2(3,)3B,既3321()()()33KKKPKC，0,1,2,3.k故的分布列是0123p127294982730、（2009四川卷理）（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2A为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。12()()()PBPAPA121119219621333636CCCCCCC927341703685所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685。…………………………………………………………6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，333391(0)84CPC,1263393(1)14CCPC21633915(2)28CCPC，363915(3)21CPC，所以的分布列为0123P1843141528521所以131550123284142821E，……………………12分31、（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．解设kA表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2lB表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则kA，lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有2221()()()33kkkkPAC,2211()()()22llllPBC.据此算得01()9PA,14()9PA,24()9PA.01()4PB,11()2PB,21()4PB.(Ⅰ)所求概率为2111412()()()929PABPAPB　.(Ⅱ)解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436PPABPAPB,011011411(1)()()92946PPABPAB,021120114141(2)()()()949294PPABPABPAB=1336,122141411(3)()()94923PPABPAB.22411(4)()949PPAB.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为111311012343663639E73（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12::21B(2,)，B(2,)32故有121EE241=2=，2332从而知1273EEE32、（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．解设kA表示第k株甲种大树成活,1,2k;设lB表示第l株乙种大树成活,1,2l则1212,,,AABB独立,且121254()(),()()65PAPAPBPB（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:2212121212118991()1()()()()1()()65900PAABBPAPAPBPB（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:1122514110846655362545PCC2005—2008年高考题一、选择题1．(2008年全国Ⅱ理6)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．2029【解析】2920330110220210120CCCCCP答案D2、（2007年辽宁理）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．211答案D3、(2007年湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()mn，a=与向量(11)，b的夹角为，则0，的概率是（）A．512B．12C．712D．56答案C4、（2007年浙江理5）已知随机变量服从正态分布2(2)N，，(4)0.84P≤，则(0)P≤（）A．0.16B．0.32C．0.68D，0.84答案A5、（2007年安徽理）以)(x表示标准正态总体在区间（x,）内取值的概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率)(P等于（A）)(-)(（B）)1()1(（C）)1(（D）)(2答案B６、（2006江苏）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（）A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4【解析】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出yx，设x=10+t,y=10-t,24xyt，选D答案D二、填空题7、（2007天津文15）随机变量的分布列如下：101Pabc其中abc，，成等差数列，若13E，则D的值是．答案598、（2007年湖北理）某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）答案151289、（2007年全国Ⅱ理14）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为。答案0.8【解析】在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。10、（2005年全国Ⅱ理15）设l为平面上过点01，的直线，l的斜率等可能地取55223032222，，，，，，，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E。答案47【解析】随机变量可能的取值为x1=13,x2=12,x3=23,x4=1,它们的概率分别为p1=27,p2=27,p3=27,p4=17,∴随机变量ζ的数学期望Eζ=211122117372737=47三、解答题11、（2008年全国Ⅱ理理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为41010.999．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则4~(10)Bp，．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当0，2分()1()PAPA1(0)P4101(1)p，又410()10.999PA，故0.001p．5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出1000050000，盈利10000(1000050000)a，盈利的期望为100001000050000EaE，9分由43~(1010)B，知，31000010E，4441010510EaE4443410101010510a．0E≥4441010105100a≥1050a≥15a≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．………………………………………………12分12、（2008年全国Ⅱ理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为41010.999．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则4~(10)Bp，．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当0，()1()PAPA1(0)P4101(1)p，又410()10.999PA，故0.001p．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出1000050000，盈利10000(1000050000)a，盈利的期望为100001000050000EaE，由43~(1010)B，知，31000010E，4441010510EaE4443410101010510a．0E≥4441010105100a≥1050a≥15a≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．13、（2007年福建文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件iA，“乙第i次试跳成功”为事件iB，依题意得()0.7iPA，()0.6iPB，且iA，iB（123i，，）相互独立．（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件123AAA，且三次试跳相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063PAAAPAPAPA．答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063．（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C．解法一：111111CABABAB，且11AB，11AB，11AB彼此互斥，111111()()()()PCPABPABPAB111111()()()()()()PAPBPAPBPAPB0.70.40.30.60.70.60.88．解法二：11()1()()10.30.40.88PCPAPB．答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88．（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件(012)iMi，，，“乙在两次试跳中成功i次”为事件(012)iNi，，，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021MNMN，且10MN，21MN为互斥事件，所求的概率为10211021()()()PMNMNPMNPMN1021()()()()PMPNPMPN1221220.70.30.40.70.60.4CC0.06720.23520.3024答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．14、（2007年全国Ⅱ文19）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()PB．（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA012122()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p．解得120.20.2pp，（舍去）．（2）记0B表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0BB．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220件，故28002100C316()C495PB．00316179()()1()1495495PBPBPB15、（2007重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．（18）（本小题13分）解：设kA表示第k辆车在一年内发生此种事故，123k，，．由题意知1A，2A，3A独立，且11()9PA，21()10PA，31()11PA．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111PAAAPAPAPA．（Ⅱ）的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111PPAAAPAPAPA，123123123(9000)()()()PPAAAPAAAPAAA123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA191081108919101191011910112421199045，123123123(18000)()()()PPAAAPAAAPAAA123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA1110191811910119101191011273990110，123123(27000)()()()()PPAAAPAPAPA111191011990．综上知，的分布列为090001800027000P811114531101990求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得811310900018000270001145110990E299002718.1811≈（元）．解法二：设k表示第k辆车一年内的获赔金额，123k，，，则1有分布列109000P8919故11900010009E．同理得21900090010E，319000818.1811E．综上有1231000900818.182718.18EEEE（元）．16、（2006北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(Ⅱ)应聘者用方案二考试通过的概率p2=31P(A·B)+31P(B·C)+31P(A·C)=31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=31×1.29=0.4317、（2006年全国Ⅱ理18）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解(1.)0,1,2,322342255189P(0)=10050CCCC211123324422225555C24P(1)=C50CCCCCCC11122324422222555515(2)50CCCCCPCCCC124222552(3)50CCPCC所以的分布列为0123P95024501550250的数学期望E()=92415201231.250505050(2)P(2)=15217(2)(3)505050PP第二部分四年联考汇编2010年联考题题组二（5月份更新）1.(安徽六校联考)某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是()A.15B.24125C.96125D.48125答案D2.（三明市三校联考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A.175B.275C.375D.475答案D3．（安庆市四校元旦联考）一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为。答案21ABCDEF4．（三明市三校联考）（本小题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．（Ⅰ）解：的所有可能取值为0，1，2．依题意，得3436C1(0)C5P，214236CC3(1)C5P，124236CC1(2)C5P．∴的分布列为[ks5u.comKS5U.COM]012P515351∴1310121555E．………………………………（7分）（Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则2536C1C2PA，1436C1C5PAB，∴25PABPBAPA．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25…………………………（13分）5.（肥城市第二次联考）甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，且),,(6Nzyxzyx，乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲期，异色时乙胜。（1）用x、y、z表示甲胜的概率；（2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分。求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值.解：（1）P（甲胜）=P（甲、乙均取红球）+P（甲、乙均取黄球）+P（甲、乙均取白球）616326636zyx…………4分（2）设甲的得分为随机变量ξ，则03631362236336231)0(,363636)1(362626)2(,36616)3(xyzEzyxPxxPyyPzzP362136)(336343yzyxxyz…………10分36230,6,,,zyxzyxNzyx又且∴当y=6时，Eξ取得最大值为32，此时x=z=0.…………12分6.（2009昆明一中第三次模拟）次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行。根据以往经验，每局甲赢乙的概率为12，乙赢甲的概率为13，且每局比赛输赢互不受影响。若甲第n局赢、平、输的得分分别记为21nnaa、、0,nanN，15,n令12nnSaaa（Ⅰ）求甲与乙平局的概率；（Ⅱ）求57S的概率。解：（Ⅰ）由已知甲赢的概率为12，输的概率为13，所以平的概率为16（Ⅱ）1311244311111111119(5)()()()()()()()262362221612216PCCC.7.（2009牟定一中期中）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。(I)用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；(II)求取到的4个球中至少有2个红球的概率。解：（Ⅰ）223422559(0)50CCPCC＝，2512)1(251213252425242514CCCCCCCCCP103)2(252225242512254CCCCCCCCCP１３１＝，251)3(25222514CCCCP＝随机变量的分布列为数学期望65E………………………………………8分(II)所求的概率5017251103)3()2()2(PPP…………12分8.（2010宁波十校联考）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为19，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。）（I）求甲选手回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可进入决赛的概率；（Ⅲ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为1P，则211(1)9P故甲选手答对一个问题的正确率123P3分（Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为32()3=8274分选手甲答了4道题目进入决赛的概率为233218()3327C5分0123P5092512103251选手甲答了5道题目进入决赛的概率为23242116()()3381C6分选手甲可以进入决赛的概率88166427278181P8分（Ⅲ）可取3，4，5则有33211(3)()()333P9分22223321212110(4)()()33333327PCC10分222222442121218(5)()()()()33333327PCC11分因此有（直接列表也给分）345P131027827故11081073453272727E14分9.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，甲运动员射击环数频数频率7100.18100.19x0.451035y合计1001乙运动员射击环数频数频率780.18120.159z100.35合计801若将频率视为概率，回答下列问题，（1）求甲运动员击中10环的概率（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及E.解：45,0.35,32xyz（1）设“甲运动员击中10环”为事件A,()0.35PA甲运动员击中10环的概率为0.35.………2（2）设甲运动员击中9环为事件1A，击中10环为事件2A则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率1212()()()PPAAPAPA0.450.350.8…………4甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率31211()PPAA310.20.992答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992.…………6（3）的可能取值是0，1，2，3200.20.250.01P12210.20.80.250.20.750.11PC21220.80.250.80.20.750.4PC230.80.750.48P所以的分布列是…………1000.0110.1120.430.482.35E.…………120123P0.010.110.40.48题组一（1月份更新）一、选择题1、（2009杭州二中第六次月考）从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是异面直线的概率是（）A．18929B．6329C．6334D．74答案B2、（2009杭州高中第六次月考）从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（）A．34B．14C．23D．12答案D3、（2009金华十校3月模拟）同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于A14B13C38D12答案C二、填空题1、（2009上海十四校联考）在集合}10,,3,2,1,6|{nnxxx中任取一个元素，所取元素恰好满足方程21cosx的概率是答案512、（2009上海八校联考）已知集合2*{|1,}nAzziiinN，1212{|,}BzzzzA、，（1z可以等于2z)，从集合B中任取一元素，则该元素的模为2的概率为______________。答案723、（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____答案364、（2009上海奉贤区模拟考）在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是。（用分数表示）答案355、（2009冠龙高级中学3月月考文）某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是。答案516、（2009台州市第一次调研）一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于.答案14237、（2009冠龙高级中学3月月考理甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是。答案48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP8、（2009上海普陀区）正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数.现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为.答案112；9、（2009上海青浦区）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是元．答案66.8元三、解答题1、（2009昆明市期末）某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核。考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用。设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为544332、、，且各轮考核通过与否相互独立（Ⅰ）求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；（Ⅱ）设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ，求ξ的数学期望和方差。（解：Ⅰ）记“该大学生通过第一轮笔试”为事件A，“该大学生通过第二轮面试”为事件B，“该大学生通过第三轮试用”为事件C。则.54)(,43)(,32)(CPBPAP那么该大学生未进入第三轮考核的概率是21)431(32321)()()()(BPAPAPBAAPP············6分（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3.P(ξ=1)=P(A)=1-P(A)=.31P(ξ=2)=P(BA)=P(A)(1-P(B))=61P(ξ=3)=21)()()(BPAPBAP或P(ξ=3)=21)(CBACBAP···································9分ξ的数学期望.613213612311E·····························11分ξ的方差.362921)6133(61)6132(31)6131(222D··········12分2、（2009杭州二中第六次月考）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为61，用随机变量表示取2个球的总得分．（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求的分布列与期望．解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则2251(0)6nnCpC化简得：2340nn，解得4n或1n（舍去），即有4个黑球（Ⅱ）11432911(0),(1),63CCppC2113242911(2)36CCCpC112322229911(3),(4)636CCCppCC∴的分布列为914361461336112311610E3、（2009上海卢湾区4月模考）袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球3个为白球，4个为红球（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为，求随机变量的概率分布律，并求的数学期望E和方差D.解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为11173419CCC种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为2828C，故所求概率为1928；（6分）（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个01234P6131113661361白球，共有114312CC种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有214424CC种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有344C种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种.由题意随机变量的取值可以为1，2，3.得随机变量的概率分布律为：x123()Px310351103319123105105E，（13分）22293939191235105551025D.（14分）4、（2009上海卢湾区一模）(理)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.(1)随机变量的概率分布律；(2)随机变量的数学期望与方差.(文)袋中有同样的球9个，其中6个红色，3个黄色，现从中随机地摸6球，求：(1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果)(2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.(理)解：(1)随机变量可取的值为2,3,4,11123211543(2);5CCCPCC212123321115433(3);10PCPCPCCC3132111154321(4);10PCPCCCC得随机变量的概率分布律为：（12分）x234()Px35310110(2)随机变量的数学期望为：3315234510102E；随机变量的方差为：2223319(22.5)(32.5)(42.5)5101020D(文)解：(1)3363695;21CCpC(2)60514263636364CCCCCC.5、（2009上海九校联考）学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A,则其概率为1142268().15CCPAC………4分答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为158………5分（2）随机变量4,3,224262(2);5CPC……6分1142268(3);15CCPC………8分22261(4);15CPC………10分∴随机变量的分布列为234P25815115∴2818234.515153E……12分6、（2009台州市第一次调研）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标（例如前3次都未投中等情形），则停止投篮．同学甲投篮命中率为，32且每次投篮互不影响．(Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率；(Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率27831)32(323CP(4分)（Ⅱ）可取的值是5,4,331)32()31()3(33P（6分）278)31()32()5(2224CP（8分）2710278311)4(P（10分）的分布列为345P312710278（12分）所以的数学期望为.27107278527104313E（14分）7、（2009广州一模）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为920，假设甲、乙两人射击互不影响(1)求p的值；(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力)解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件B，则32P(A)P(A)P(B)pP(B)1p55，，，，……1分依题意得329(1p)p5520，……3分解得3p4，故p的值为34.……5分(2)ξ的取值分别为0，2，4.……6分211P(0)P(AB)P(A)P(B)5410，……8分9P(2)20，339P(4)P(AB)P(A)P(B)5420，……10分∴ξ的分布列为ξ024P110920920……12分∴Eξ=19927024.10202010……14分8、（2009玉溪一中期末）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．()Ⅰ求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；()Ⅱ若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．解：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)=0.35+0.45=0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为p1=C13·0.81·(1-0.8)2=0.096；恰有2次击中9环以上，概率为p2=C23·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有3次击中9环以上，概率为p3=C33·0.83·(1-0.8)0=0.512．因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率p=p1+p2+p3=0.992．(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．因为表示2次射击击中9环以上的次数，所以的可能取值是0，1，2.因为P(=2)=0.8·0.75=0.6；P(=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；P(=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．所以的分布列是ξ012P0.050.350.6所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．9、（2009广东三校一模）如图,BA,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为.(1)写出信息总量的分布列;(2)求信息总量的数学期望.(1)由已知,的取值为10,9,8,7.2分517352212CCCP,10383511222212CCCCCP,52935111212CCCCP,10110351112CCCP8分的分布列为:78910P511035210133224AB9分(2)101019528103751E11分4.854212分10、（2009东莞一模）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1.（1）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及E；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1………1分的分布列为…4分101p214141E=2141=41…………6分（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分22p2422E…………10分依题意要求1424…11分∴9116………12分注：只写出916扣1分11、（2009番禺一模）某射击测试规则为：每人最多有3次射击机会，射手不放过每次机会，击中目标即终止射击，第i次击中目标得4i(123)i，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（1）求该射手恰好射击两次的概率；（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．解（1）设该射手第i次击中目标的事件为(123)iAi，，，则()0.8()0.2iiPAPA，，…1分该射手恰好射击2次，则第1次没击中目标，第2次击中目标，表示的事件为12AA，…2分由于1A，2A相互独立，则1212()()()0.20.80.16PAAPAPA．……4分即该射手恰好射击两次的概率为0.16；……5分（2）可能取的值为0，1，2，3．……6分由于(0)P3121233()()()()(0.2)0.08PAAAPAPAPA……7分(1)P2121233()()()()(0.2)0.80.032PAAAPAPAPA；……8分(2)P1212()()()0.20.80.16PAAPAPA；……9分1(3)()0.8PPA……10分则的分布列为……11分故的数学期望为00.00810.03220.1630.82.752E.……12分12、（2009韶关一模）有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计,中国队在每局比赛中胜日本队的概率为23,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率;（Ⅱ）.设表示比赛的局数,求的期望值.(Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜.………………………2分所以,2232128()()33327PAC..……………………………………………5分(Ⅱ)3,4,5332113()()333P;……………………………………………7分23312104()3327PPAC..……………………………………………9分8513427PPP..………………………………………10分所以所求的的期望值11082634533272727E……………………………12分2009年联考题0123P0.0080.0320.160.8图1一、选择题1、（2009年山东省乐陵一中高三模拟）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（）A．121B．101C．253D．12512答案D2、（2009广东江门市模拟）如图1，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.24B.22C.44D.42答案3、(湖北省武汉二中2009届高三3月测试题)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为(80)22001()()210xfxexR,则下列命题中不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10答案B4、（2009宁波十校联考）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,bc，则方程20xbxc有实根的概率为（）A1936B12C59D1736答案A5、（2009和平区一模）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于4S的概率是（）(A)14(B)12(C)34(D)23答案C二、填空题6、（2009广东中山市一模）若数据123,,,,nxxxx的平均数x=5，方差22，则数据12331,31,31,,31nxxxx的平均数为，方差为.答案7、（2009福建厦门一中）设,(0,1)ab，则关于220xxaxb的方程在(,)上有两个不同的零点的概率为______________答案138、(湖北省孝感市2009届高三3月统考理)设三个正态分布211,N（10）、222,N（20）、233,N（30）的密度函数图象如图所示，则1、2、3按从小到大的顺序排列是______________；1、2、3按从小到大的顺序排列是_____________.答案213，1329、（2009金陵中学三模）在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，3为半径画一弧分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是____________．答案3610、（2009金华一中2月月考）从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为偶数的概率是______.答案25三、解答题11、(2009高三冲刺)甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。记游戏终止时投掷骰子的次数为（1）求掷骰子的次数为7的概率；（2）求的分布列及数学期望E。解：（1）当=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为21，因此)7(P=6452121)21()21(2415C（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由915||nmnm，可得：当655,00,5mnmnm；当时，或1n或1m，6n时，7当7m，2n或.9,7,2时nm因此的可能取值是5、7、9每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是.216364556451611)9(,645)7(,161)21(2)5(5PPP所以的分布列是：579P1616456455322756455964571615E12、(北京市石景山区2009年4月高三一模理)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求E与D．解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为1P、2P．由题意得：125)1()1(4321211PPPPP，解得：322P．∴　一个零件经过检测为合格品的概率21324321PPP．（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为：1613)21()21(1555545CC．（Ⅲ）依题意知　～)21,4(B，2214E，121214D．13、（2009龙岩一中文）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．解:将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P（A）=41369；答：两数之和为5的概率为19．（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件所以P（B）=931364；答：两数中至少有一个奇数的概率34．（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件所以P（C）=82369．答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率29．14、(湖北省八校2009届高三第二次联考文)在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14．(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．解：记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，则43)(AP，且有41)()(121)()(CPBPCPAP，即41)()(121)](1[)](1[CPBPCPAP∴32)(,83)(CPBP（2）由（1）41)(1)(APAP,31)(1)(BPBP.则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：33135213215()()()48348348332PPABCPABCPABC15、（09江西高二期中）某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34．（1）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及E；（2）设为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数7()2xfx在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率．解：记“甲攻关小组获奖”为事件A，则2()3PA，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则3()4PB．(1)由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．231(0)()(1)(1)3412PPAB，23235(1)()()(1)(1),343412PPABAB231(2)()342PPAB，∴ξ的分布列为：ξ012P11251212∴151170121212212E．(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0．∴η的可能取值为0，4．当η=0时,77()||()22xxfx在定义域内是增函数．当η=4时,71()||()22xfx在定义域内是减函数．∴117()(4)()()21212PCPPABPAB．2007—2008年联考题一、选择题1、(2007南京模拟)6件产品中有4件合格品，2件次品．为找出2件次品，每次任取一个检验检验后不再放回，恰好经过4次检验找出2件次品的概率为（）A．53B．31C．154D．51答案C2、（2007潍坊高三二轮复习）已知={(x，y)|x+y6，x0，y0}，A={(x，y)|x4，y0，x－2y0}，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．31　　　　B．32　　C．91　D．92答案D二、填空题3、（2008滨海高校月考）某人5上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方次差为2，则22yx的值为.答案2084、（2007石景山区高三二轮复习）一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分.学生甲选对任一题的概率为0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________.答案12026三、解答题5、（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。解（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则31)(AP，32)(AP，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。818)32()31(3341CP，811)31(42P，9121PPP（2）的可能取值为4,2,0,2,4，则8116)32()4(4P；8132)32)(31()2(314CP；8124)32()31()0(2224CP；818)2(P；811)4(P；分布列为P-4-20248116813281248188114381148182812408132)2(81164E6、（2007浦东新区高三二轮复习）某研究所试制出一大批特种陶瓷刀，他们从这批产品中随机抽取了50个样本，检测它们的硬度和耐磨度.硬度和耐磨度各分为5个档次，检测结果如下表.如表中所示硬度为5、耐磨度为4的刀具有3把.若在该批产品中任选一把刀具，其硬度记为x，耐磨度记为y.（1）试根据这50个样本估计5y的概率是多少?3x且3y的概率是多少？（2）若从这一大批产品中任意取出3把刀具，则这3把刀具至少有2把的耐磨度为5的概率是多少？（3）根据这50个样本估计y的期望值.解：(1);101501211)5(yP;2545071)3y,3x(P（2）由（1）可知，任取1把刀具，其耐磨度为5的概率101p，故任取3把，至少有2把耐磨度为5的概率为2507)109()101(C)109()101(C03331223；（3）由题意可知y的分布列为501335091501525015350645055Ey.y54321P50550650155015509

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