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(新课标全国)高考试题--数学理科解析版

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(新课标全国)高考试题--数学理科解析版文字介绍:2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{||2,}AxxR},{|4,}BxxxZ,则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2}解析：{22},{0,1,2,3,4}AB={0,1,2}AxxB，,选D命题意图：考察集合的基本运算(2)已知复数23(13)izi，z是z的共轭复数，则zz=A.14B.12C.1D.2解析：2334343164(13)223iiiizii331444iizz，所以选A命题意图：考察复数的四则运算(3)曲线2xyx在点（-1，-1）处的切线方程为（A）y=2x+1(B)y=2x-1Cy=-2x-3D.y=-2x-2解析：\'\'122,|2(2)xykyx，所以点（-1，-1）处的切线方程为y=2x+1，命题意图：考察导数的几何意义(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为解析：法一：排除法取点0,2td时,排除A、D，又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B，选C法二：构建关系式x轴非负半轴到OP的角4t，由三角函数的定义可知2sin()4pyt，所以2sin()4dt，选C命题意图：考察三角函数的定义及图像（5）已知命题1p：函数22xxy在R为增函数，2p：函数22xxy在R为减函数，则在命题1q：12pp，2q：12pp，3q：12pp和4q：12pp中，真命题是（A）1q，3q（B）2q，3q（C）1q，4q（D）2q，4q解析：对于1p：122xxy显然在R为增函数，命题为真对于2p：122xxy，\'12ln22ln2(2)ln22xxxxy当\'\'00,00,xyyxyy时，单调递减，时，单调递增，命题为假对于2p，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数12,xtytt处理利用复合命题真值表，显然12pp，12pp为真命题，选C命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100（B）200（C）300（D）400解析：设发芽的粒数为,~(1000,0.9),900BE则又(1000)222000,22000200XEXE，选B命题意图：考察二项分布期望公式及公式()EabaEb（7）如果执行右面的框图，输入5N，则输出的数等于（A）54（B）45（C）65（D）56解析：所以选D命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和（8）设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx，则{|(2)0}xfx(A){|24}xxx或(B){|04}xxx或(C){|06}xxx或(D){|22}xxx或解析：30()802xfxxx当时，由得()()022fxfxxx又为偶函数，时或(2)02222,40fxxxxx或即或，选B命题意图：利用函数性质解不等式（9）若4cos5，是第三象限的角，则1tan21tan2(A)12(B)12(C)2(D)-2解析：是第三象限的角，2是第二或四象限角又2222222cossin1tan4222cos,tan9,tan3522cossin1tan222化简得故1tan1221tan2，选A命题意图：考察三角函数的化简求值（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)2a(B)273a(C)2113a(D)25a解析：222222274312aaROBOEBEa22743Saa命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式（11）已知函数|lg|,010,()16,10.2xxfxxx若,,abc互不相等，且()()(),fafbfc则abc的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)解析：,,abc互不相等，不妨设abc()(),lglgfafbab由得，即ab=1abcc，显然1012c所以选C命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题（12）已知双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)N,则E的方程式为(A)22136xy(B)22145xy(C)22163xy(D)22154xy解析：设双曲线方程为22222222221,xybxayabab即，1122(,),(,)AxyBxy由2222222222221122,bxayabbxayab得2212121212()()()0()yybxxayyxxABPNN又中点（-12，-15），k=k，2222-12+1504=5baba即，22+9ba所以224,=5ab，选B命题意图：利用点差法处理弦中点与斜率问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）设()yfx为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1fx，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,Nxxx…和12,,Nyyy…，由此得到N个点11(,)(1,2,)xyiN…,，再数出其中满足11()(1,2,)yfxiN…,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为。1NN（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）解析：三棱锥、三棱柱、圆锥（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为22(3)2xy解析：设圆心(,)Oab，借助图形可知3a，又11032bOBb与切线垂直，即222,C(2)2rOBxy圆的方程为(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD=12DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为33，则BAC=_______解析：ADC13SADDC=33,CD=3-1,BD=23-222在△ADC，22AC=AD+DC-2ADDCCOS60=32-6在△ADB，22AB=AD+BD-2ADBDCOS120=6所以，在△ABC中，由余弦定理的cosBAC=222AB+AC-BC1=2ABAC2,BAC=60°三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17）（本小题满分12分）设数列na满足21112,32nnnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前n项和nS解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，111211[()()()]nnnnnaaaaaaaa21233(222)2nn2(1)12n。而12,a所以数列{na}的通项公式为212nna。（Ⅱ）由212nnnbnan知35211222322nnSn①从而23572121222322nnSn②①-②得2352121(12)22222nnnSn。即211[(31)22]9nnSn(18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点，,,HAHBHP分别为,,xyz轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB（Ⅰ）设(,0,0),(0,0,)(0,0)CmPnmn则1(0,,0),(,,0).22mDmE可得1(,,),(,1,0).22mPEnBCm因为0022mmPEBC所以PEBC（Ⅱ）由已知条件可得33,1,33mnC故(,0,0)313(0,,0),(,,0),(0,0,1)326DEP设(,,)nxyx为平面PEH的法向量则,,nHEonHPo即130260xyz因此可以取(1,3,0)n，由(1,0,1)PA，可得2cos,4PAn所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24(19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500（2）22500(4027030160)9.96720030070430K。由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．（20）（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线i与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)p满足PAPB，求E的方程解：（I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222ABAFBF，得43ABal的方程为yxc，其中22cab。设11,Axy，22,Bxy，则A、B两点坐标满足方程组22221yxcxyab化简的222222220abxacxacb则2222121222222,acbacxxxxabab因为直线AB斜率为1，所以AB2211212224xxxxxx得22244,3abaab故222ab所以E的离心率2222cabeaa（II）设AB的中点为00,Nxy，由（I）知212022223xxacxcab，003cyxc。由PAPB，得1PNk，即0011yx得3c，从而32,3ab故椭圆E的方程为221189xy。（21）（本小题满分12分）设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围解：（1）0a时，()1xfxex，\'()1xfxe.当(,0)x时，\'()0fx；当(0,)x时，\'()0fx.故()fx在(,0)单调减少，在(0,)单调增加（II）\'()12xfxeax由（I）知1xex，当且仅当0x时等号成立.故\'()2(12)fxxaxax，从而当120a，即12a时，\'()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0x时，()0fx.由1(0)xexx可得1(0)xexx.从而当12a时，\'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，故当(0,ln2)xa时，\'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx.综合得a的取值范围为1(,]2.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）BC2=BF×CD。解：（I）因为ACBC,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.（II）因为,ECBCDBEBCBCD,所以BDC∽ECB，故BCCDBEBC，即2BCBECD.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C1x1tcossinyt（t为参数），C2xcossiny（为参数），（Ⅰ）当=3时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。解：（Ⅰ）当3时，1C的普通方程为3(1)yx，2C的普通方程为221xy。联立方程组223(1)1yxxy，解得1C与2C的交点为（1,0）1322，。（Ⅱ）1C的普通方程为sincossin0xy。A点坐标为2sincossin，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：21sin21sincos2xy为参数P点轨迹的普通方程为2211416xy。故P点轨迹是圆心为104，，半径为14的圆。（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项设函数()241fxxl（Ⅰ）画出函数()yfx的图像（Ⅱ）若不等式()fx≤ax的解集非空，求a的取值范围。解：（Ⅰ）由于252()23xxfxx，，x2则函数()yfx的图像如图所示。（Ⅱ）由函数()yfx与函数yax的图像可知，当且仅当12a或2a时，函数()yfx与函数yax的图像有交点。故不等式()fxax的解集非空时，a的取值范围为122，，。

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