2017年高考数学知识方法专题8《第39练 概率的两类模型》

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2017年高考数学知识方法专题8《第39练 概率的两类模型》文字介绍:第39练 概率的两类模型[题型分析·高考展望] 概率是高中数学的重要内容,也是高考的必考知识点.在高考中,概率部分的命题主要有三个方面的特点:一是以古典概型的概率公式为考查对象,二是以几何概型的概率公式为考查对象,三是古典概型与其他知识相交汇,题目多以选择题或填空题的形式出现.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )A.B.C.D.答案 C解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.故选C.2.(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log≤1”发生的概率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 由-1≤log≤1,得≤x+≤2,∴0≤x≤.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P==.3.(2015·福建)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.C.D.答案 B解析 由图形知C(1,2),D(-2,2),∴S四边形ABCD=6,S阴=×3×1=.∴P==.4.(2016·课标全国乙)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  )A.B.C.D.答案 B解析 如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P==,故选B.5.(2016·天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为+=.高考必会题型题型一 古典概型问题例1 (1)(2016·课标全国丙)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(  )A.B.C.D.答案 C解析 第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,所以总的基本事件的个数为15,密码正确只有一种,概率为,故选C.(2)某班级的某一小组有6位学生,其中4位男生,2位女生,现从中选取2位学生参加班级志愿者小组,求下列事件的概率:①选取的2位学生都是男生;②选取的2位学生一位是男生,另一位是女生.解 ①设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.从6位学生中任取2位学生,所取的2位全是男生的方法数,即从4位男生中任取2个的方法数,共有6种,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).所以选取的2位学生全是男生的概率为P1==.②从6位学生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种.所以选取的2位学生一位是男生,另一位是女生的概率为P2=.点评 求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的,设出所求事件A.(2)分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比较困难,则可以利用间接的方法,如逆向思维,先求其对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.变式训练1 (2016·北京)从甲,乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(  )A.B.C.D.答案 B解析 从甲,乙等5名学生中随机选2人共有10种情况,甲被选中有4种情况,则甲被选中的概率为=.题型二 几何概型问题例2 (1)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(  )A.B.C.D.(2)在区间[0,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为(  )A.B.C.D.答案 (1)D (2)B解析 (1)如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D,且区域D的面积为4,而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4-π.因此满足条件的概率是,所以选D.(2)所求概率为几何概型,测度为面积,则Δ=4a2+4b2-4π≥0⇒a2+b2≥π得所求概率为1-=.点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(2)几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中,面积问题的求解常常用到线性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关,而与区域的位置和形状无关.变式训练2 (1)已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(  )A.B.C.D.(2)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为______.答案 (1)D (2)解析 (1)由PB+PC+2PA=0,可得PB+PC=-2PA,由向量加法的几何意义可知点P在△ABC的中线AD上,且PB+PC=PE,如图所示,由共线向量定理知PE=2PD=-2PA,所以PD=-PA,所以P为AD的中点,所以△PBC的面积是△ABC面积的,根据几何概型可知黄豆落在△PBC内的概率是P==,故选D.(2)由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,故阴影部分面积为S=2(e-ex)dx=2(ex-ex)=2[e-e-(0-1)]=2.又该正方形面积为e2,故由几何概型的概率公式可得所求概率为.高考题型精练1.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )A.B.C.D.答案 B解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数共有6(种)不同取法,其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法,故所求概率为=,选B.2.(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )A.B.C.D.1答案 B解析 从袋中任取2个球共有C=105(种)取法,其中恰好1个白球1个红球共有CC=50(种)取法,所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为=.3.(2016·课标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(  )A.B.C.D.答案 B解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=,故选B.4.在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间[0,10]内的概率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 设这两个数为x,y,则0≤x≤10,0≤y≤10,构成一个正方形,面积为102,这两个数的平方和x2+y2∈[0,10],在正方形中形成的阴影面积为,因此所求概率为=,选A.5.设a∈[1,4],b∈[1,4],现随机地抽出一对有序实数对(a,b)使得函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图象有交点的概率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 因为a∈[1,4],b∈[1,4],所以(a,b)所在区域面积为9,f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图象有交点,等价于4x2+4x+a2=0有解,即是b≥a2,此时(a,b)所在区域如图阴影部分,其面积为3-(a2-1)da=3-(a3-a)=,由几何概型概率公式得到函数f(x)=4x2+a2与函数g(x)=-4x的图象有交点的概率为=,故选A.6.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的内部爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为(  )A.6-B.6-C.1-D.2-答案 C解析 因为三角形的面积为×3×4=6,离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为×π×12=,所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P==1-,故选C.7.(2016·四川)从2、3、8、9任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________.答案 解析 从2、3、8、9任取两个数分别为记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,所以P==.8.若袋中5个外形相同的小球,其中红球2个,白球3个,现从中任取2个球,则取出的球中有红球的概率为________.答案 解析 5个外形相同的小球,记其中的2个红球为1,2,3个白球为a,b,c.从中任取2个球,共有10种可能的结果,其中没有红球有3种可能的结果.所以有红球的概率为1-=.9.(2016·上海)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.答案 解析 甲同学从四种水果中选两种,选法有C种,乙同学的选法有C种.两同学相同的选法有C种,由古典概型概率计算公式可得,甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为=.10.一个三位自然数abc的百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a,b,c∈{4,5,6,7,8},且a,b,c互不相同,任取一个三位数abc,则它为“凹数”的概率是________.答案 解析 根据题意,当且仅当a>b且c>b是称为“凹数”,在{4,5,6,7,8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数,有A=60(种)取法,在{4,5,6,7,8}中任取3个不同的数组成“凹数”有以下3种取法,将4放在十位上,再排2个数排在百、个位上,有A=12(种);将5放在十位上,再排2个数排在百、个位上,有A=6(种);将6放在十位上,再排2个数排在百、个位上,有A=2(种);根据分类加法计数原理,可得共有12+6+2=20(种),所以构成“凹数”的概率为=.11.甲、乙、丙三人组成一组,参加一个闯关游戏团体赛,三人各自独立闯关,其中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,乙、丙闯关成功的概率为,每人闯关成功得2分,三人得分之和记为小组团体总分.(1)求乙、丙各自闯关成功的概率;(2)求团体总分为4分的概率;(3)若团体总分不小于4分,则小组可参加复赛,求该小组可参加复赛的概率.解 记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A、B、C,则由已知条件得P(A)=,P(A·B)=,P(B·C)=.(1)∵P(A·B)=P(A)·P(B),∴P(B)=.同理,P(C)=.(2)∵每人闯关成功记2分,要使团体总分为4分,则需要两人闯关成功,∴两人都闯关成功的概率P1=··+··+··=,即团体总分为4分的概率P1=.(3)团体总分不小于4分,则团体总分可能为4分,可能为6分,团体总分为6分,需要三人都闯关成功,三人闯关都成功的概率P2=··=.由(2)知团体总分为4分的概率P1=,∴团体总分不小于4分的概率P=P1+P2=+=.12.如图是一个方形迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为,向南、北行走的概率为和p,乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q.(1)求p和q的值;(2)问最少几分钟,甲乙二人相遇?并求出最短时间内可以相遇的概率.解 (1)∵+++p=1,∴p=,又∵4q=1,∴q=.(2)最少需要2分钟,甲乙二人可以相遇(如图,在C、D、E三处相遇).设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE,则pC=(×)×(×)=,pD=2(×)×2(×)=,pE=(×)×(×)=,∴pC+pD+pE=(++)=,即所求的概率为.

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