2014年江苏高考数学试题+参考答案

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2014年江苏高考数学试题+参考答案文字介绍:2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={4,3,1,2},}3,2,1{B,则BA▲.2.已知复数2)i25(z(i为虚数单位),则z的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数xycos与)2sin(xy(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列}{na中,,12a4682aaa,则6a的值是▲.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S,2S,体积分别为1V,2V,若它们的侧面积相等,且4921SS,则21VV的值是▲.9.在平面直角坐标系xOy中,直线032yx被圆4)1()2(22yx截得的弦长为▲.开始0n1nn202n输出n结束(第3题)NY组距频率10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm(第6题)10.已知函数,1)(2mxxxf若对于任意]1,[mmx,都有0)(xf成立,则实数m的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系xOy中,若曲线xbaxy2(a,b为常数)zxxk过点)5,2(P,且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行,则ba的值是▲.12.如图,在平行四边形ABCD中,已知8AB,5AD,PDCP3,2BPAP,则ADAB的值是▲.13.已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.14.若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知),2(,55sin.(1)求)4sin(的值;(2)求)265cos(的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥ABCP中,D,E,F分zxxk别为棱ABACPC,,的中点.已知ACPA,,6PAABDCP(第12题).5,8DFBC求证:(1)直线//PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆)0(12322babyax的左、右焦点,顶点B的坐标为),0(b,连结2BF并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结CF1.(1)若点C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程;(2)若,1ABCF求椭圆离心率e的值.(第16题)PDCEFBAF1F2OxyBCA(第17题)18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),34tanBCO.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?19.(本小题满分16分)已知函数xxxfee)(,其中e是自然对数的底数.(1)证明:)(xf是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式)(xmf≤1emx在),0(上恒成立,学科网求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在),1[0x,使得)3()(0300xxaxf成立.试比较1ea与1ea的大小,并证明你的结论.170m60m东北OABMC(第18题)20.(本小题满分16分)设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n,学科网总存在正整数m,使得mnaS,则称}{na是“H数列”.(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;(2)设}{na是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列}{na,总存在两个“H数列”}{nb和}{nc,使得nnncba(nN)成立.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2014•江苏)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=D∠. 【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2014•江苏)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值. 【选修4-3:极坐标及参数方程】23.(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长. 【选修4-4:不等式选讲】24.(2014•江苏)已知x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. (二)必做题(本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分)25.(10分)(2014•江苏)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X). 26.(10分)(2014•江苏)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn1﹣(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1()+f2()的值;(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn1﹣()+fn()|=都成立.2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2014•江苏)已知集合A={2﹣,﹣1,3,4},B={1﹣,2,3},则A∩B= {1﹣,3} .考点:交集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:∵A={2﹣,﹣1,3,4},B={1﹣,2,3},A∩B={1∴﹣,3},故答案为:{1﹣,3}点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.(5分)(2014•江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 21 .考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:根据复数的有关概念,即可得到结论.解答:解:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=254+20i=21+20i﹣,故z的实部为21,故答案为:21点评:本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础. 3.(5分)(2014•江苏)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是 5 .考点:程序框图.菁优网版权所有专题:算法和程序框图.分析:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,代入正整数n验证可得答案.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,2∵4=16<20,25=32>20,∴输出n=5.故答案为:5.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 4.(5分)(2014•江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是  .考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:首先列举并求出“从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,利用概率公式计算即可.解答:解:从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)共6个,所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6),(2,3)共2个,故所求概率P=.故答案为:.点评:本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件. 5.(5分)(2014•江苏)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是  .考点:三角方程;函数的零点.菁优网版权所有专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:由于函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.解答:解:∵函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,∴=.0≤φ∵<π,∴,∴+φ=,解得φ=.故答案为:.点评:本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题. 6.(5分)(2014•江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 24 株树木的底部周长小于100cm.考点:频率分布直方图.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率,再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.解答:解:由频率分布直方图知:底部周长小于100cm的频率为(0.015+0.025)×10=0.4,∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24(株).故答案为:24.点评:本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=. 7.(5分)(2014•江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 4 .考点:等比数列的通项公式.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:利用等比数列的通项公式即可得出.解答:解:设等比数列{an}的公比为q>0,a1>0.a∵8=a6+2a4,∴,化为q4q﹣22=0﹣,解得q2=2.a∴6===1×22=4.故答案为:4.点评:本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题. 8.(5分)(2014•江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是  .考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有专题:立体几何.分析:设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比.解答:解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r;高分别为H,h;∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===.故答案为:.点评:本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目. 9.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y3=0﹣被圆(x2﹣)2+(y+1)2=4截得的弦长为  .考点:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有专题:直线与圆.分析:求出已知圆的圆心为C(2,﹣1),半径r=2.利用点到直线的距离公式,算出点C到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线x+2y3=0﹣被圆截得的弦长.解答:解:圆(x2﹣)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,﹣1),半径r=2,∵点C到直线直线x+2y3=0﹣的距离d==,∴根据垂径定理,得直线x+2y3=0﹣被圆(x2﹣)2+(y+1)2=4截得的弦长为2=2=故答案为:.点评:本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题. 10.(5分)(2014•江苏)已知函数f(x)=x2+mx1﹣,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 (﹣,0) .考点:二次函数的性质.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围.解答:解:∵二次函数f(x)=x2+mx1﹣的图象开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,∴,即,解得﹣<m<0,故答案为:(﹣,0).点评:本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 11.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 ﹣3.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有专题:导数的概念及应用.分析:由曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,可得y|x=2=5﹣,且y′|x=2=,解方程可得答案.解答:解:∵直线7x+2y+3=0的斜率k=,曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,y′=2ax∴﹣,∴,解得:,故a+b=3﹣,故答案为:﹣3点评:本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,是解答的关键. 12.(5分)(2014•江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是 22 .考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有专题:平面向量及应用.分析:由=3,可得=+,=﹣,进而由AB=8,AD=5,=3,•=2,构造方程,进而可得答案.解答:解:∵=3,∴=+,=﹣,又∵AB=8,AD=5,∴•=(+)•(﹣)=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2,故•=22,故答案为:22.点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=+,=﹣,是解答的关键. 13.(5分)(2014•江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x22x+﹣|,若函数y=f(x)﹣a在区间[3﹣,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 (0,) .考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.解答:解:f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x22x+﹣|,若函数y=f(x)﹣a在区间[3﹣,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y=a的图象如图:由图象可知.故答案为:(0,).点评:本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用. 14.(5分)(2014•江苏)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .考点:余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有专题:三角函数的图像与性质;解三角形.分析:根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论.解答:解:由正弦定理得a+b=2c,得c=(a+b),由余弦定理得cosC====≥=,当且仅当时,取等号,故≤cosC<1,故cosC的最小值是.故答案为:.点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,利用基本不等式是解决本题的关键. 二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15.(14分)(2014•江苏)已知α∈(,π),sinα=.(1)求sin(+α)的值;(2)求cos(﹣2α)的值.考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.菁优网版权所有专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:(1)通过已知条件求出cosα,然后利用两角和的正弦函数求sin(+α)的值;(2)求出cos2α,然后利用两角差的余弦函数求cos(﹣2α)的值.解答:解:α∈(,π),sinα=.∴cosα=﹣=(1)sin(+α)=sincosα+cossinα==﹣;sin∴(+α)的值为:﹣.(2)∵α∈(,π),sinα=.∴cos2α=12sin﹣2α=,sin2α=2sinαcosα=﹣cos∴(﹣2α)=coscos2α+sinsin2α==﹣.cos(﹣2α)的值为:﹣.点评:本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. 16.(14分)(2014•江苏)如图,在三棱锥PABC﹣中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PAAC⊥,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何.分析:(1)由D、E为PC、AC的中点,得出DEPA∥,从而得出PA∥平面DEF;(2)要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DEEF⊥,且DEAC⊥即可.解答:证明:(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DEPA∥,又∵PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,PA∴∥平面DEF;(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4;DE∴2+EF2=DF2,DEF=90°∴∠,DEEF∴⊥;DEPA∵∥,PAAC⊥,∴DEAC⊥;AC∩EF=E∵,∴DE⊥平面ABC;DE∵⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.点评:本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目. 17.(14分)(2014•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1CAB⊥,求椭圆离心率e的值.考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.菁优网版权所有专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出a,b的值.(2)求出C的坐标,利用F1CAB⊥建立斜率之间的关系,解方程即可求出e的值.解答:解:(1)∵C的坐标为(,),∴,即,∵,a∴2=()2=2,即b2=1,则椭圆的方程为+y2=1.(2)设F1(﹣c,0),F2(c,0),B∵(0,b),∴直线BF2:y=﹣x+b,代入椭圆方程+=1(a>b>0)得()x2﹣=0,解得x=0,或x=,A∵(,),且A,C关于x轴对称,C∴(,﹣),则=﹣=,F∵1CAB⊥,∴×()=1﹣,由b2=a2c﹣2得,即e=.点评:本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系,运算量较大. 18.(16分)(2014•江苏)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO=∠.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?考点:圆的切线方程;直线与圆的位置关系.菁优网版权所有专题:直线与圆.分析:(1)在四边形AOCB中,过B作BEOC⊥于E,过A作AFBE⊥于F,设出AF,然后通过解直角三角形列式求解BE,进一步得到CE,然后由勾股定理得答案;(2)设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,设OM=xm,把PC、PQ用含有x的代数式表示,再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围,得到x取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大.解答:解:(1)如图,过B作BEOC⊥于E,过A作AFBE⊥于F,ABC=90°∵∠,∠BEC=90°,ABF=BCE∴∠∠,∴.设AF=4x(m),则BF=3x(m).AOE=AFE=OEF=90°∵∠∠∠,OE=AF=4x∴(m),EF=AO=60(m),BE=∴(3x+60)m.∵,CE=∴(m).∴(m).∴,解得:x=20.BE=120m∴,CE=90m,则BC=150m;(2)如图,设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,POM=PQC=90°∵∠∠,PMO=BCO∴∠∠.设OM=xm,则OP=m,PM=m.PC=∴m,PQ=m.设⊙M半径为R,R=MQ=∴m=m.A∵、O到⊙M上任一点距离不少于80m,则RAM≥80﹣,ROM≥80﹣,136∴﹣﹣(60x﹣)≥80,136﹣x≥80﹣.解得:10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.OM=10m∴时,保护区面积最大.点评:本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解,是中档题. 19.(16分)(2014•江苏)已知函数f(x)=ex+ex﹣,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤ex﹣+m1﹣在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,试比较ea1﹣与ae1﹣的大小,并证明你的结论.考点:利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有专题:导数的综合应用.分析:(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤ex﹣+m1﹣在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围;(3)构u造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论.解答:解:(1)∵f(x)=ex+ex﹣,f∴(﹣x)=ex﹣+ex=f(x),即函数:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤ex﹣+m1﹣在(0,+∞)上恒成立,即m(ex+ex﹣1﹣)≤ex﹣1﹣,x∵>0,e∴x+ex﹣1﹣>0,即m≤在(0,+∞)上恒成立,设t=ex,(t>1),则m≤在(1,+∞)上恒成立,∵=﹣=﹣,当且仅当t=2时等号成立,m∴.(3)令g(x)=ex+ex﹣a﹣(﹣x3+3x),则g′(x)=exe﹣x﹣+3a(x21﹣),当x>1,g′(x)>0,即函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,故此时g(x)的最小值g(1)=e+2a﹣,由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,故e+2a﹣<0,即a>(e+),令h(x)=x﹣(e1﹣)lnx1﹣,则h′(x)=1﹣,由h′(x)=1﹣=0,解得x=e1﹣,当0<x<e1﹣时,h′(x)<0,此时函数单调递减,当x>e1﹣时,h′(x)>0,此时函数单调递增,h∴(x)在(0,+∞)上的最小值为h(e1﹣),注意到h(1)=h(e)=0,∴当x∈(1,e1﹣)⊆(0,e1﹣)时,h(e1﹣)≤h(x)<h(1)=0,当x∈(e1﹣,e)⊆(e1﹣,+∞)时,h(x)<h(e)=0,h∴(x)<0,对任意的x∈(1,e)成立.a①∈((e+),e)⊆(1,e)时,h(a)<0,即a1﹣<(e1﹣)lna,从而ea﹣1<ae1﹣,②当a=e时,ae1﹣=ea1﹣,③当a∈(e,+∞)⊆(e1﹣,+∞)时,当a>e1﹣时,h(a)>h(e)=0,即a1﹣>(e1﹣)lna,从而ea1﹣>ae1﹣.点评:本题主要考查函数奇偶性的判定,函数单调性和最值的应用,利用导数是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大. 20.(16分)(2014•江苏)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.考点:数列的应用;等差数列的性质.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:(1)利用“当n≥2时,an=SnS﹣n1﹣,当n=1时,a1=S1”即可得到an,再利用“H”数列的意义即可得出.(2)利用等差数列的前n项和即可得出Sn,对∀n∈N*,∃m∈N*使Sn=am,取n=2和根据d<0即可得出;(3)设{an}的公差为d,构造数列:bn=a1﹣(n1﹣)a1=(2n﹣)a1,cn=(n1﹣)(a1+d),可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.解答:解:(1)当n≥2时,an=SnS﹣n1﹣=2n2﹣n1﹣=2n1﹣,当n=1时,a1=S1=2.当n=1时,S1=a1.当n≥2时,Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.(2)Sn==,对∀n∈N*,∃m∈N*使Sn=am,即,取n=2时,得1+d=(m1﹣)d,解得,d∵<0,∴m<2,又m∈N*,∴m=1,∴d=1﹣.(3)设{an}的公差为d,令bn=a1﹣(n1﹣)a1=(2n﹣)a1,对∀n∈N*,bn+1b﹣n=a﹣1,cn=(n1﹣)(a1+d),对∀n∈N*,cn+1c﹣n=a1+d,则bn+cn=a1+(n1﹣)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=,令Tn=(2m﹣)a1,则.当n=1时,m=1;当n=2时,m=1.当n≥3时,由于n与n3﹣的奇偶性不同,即n(n3﹣)为非负偶数,m∈N*.因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使Tn=bm成立,即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=,令cm=(m1﹣)(a1+d)=Rn,则m=.∵对∀n∈N*,n(n3﹣)为非负偶数,∴m∈N*.因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使Rn=cm成立,即{cn}为H数列.因此命题得证.点评:本题考查了利用“当n≥2时,an=SnS﹣n1﹣,当n=1时,a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、构造法,属于难题. 三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2014•江苏)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=D∠.考点:弦切角.菁优网版权所有专题:直线与圆.分析:利用OC=OB,可得∠OCB=B∠,利用同弧所对的圆周角相等,即可得出结论.解答:证明:∵OC=OB,OCB=B∴∠∠,B=D∵∠∠,OCB=D∴∠∠.点评:本题考查同弧所对的圆周角相等,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2014•江苏)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.考点:矩阵与向量乘法的意义.菁优网版权所有专题:矩阵和变换.分析:利用矩阵的乘法,结合A=B,可得方程组,即可求x,y的值,从而求得x+y的值.解答:解:∵矩阵A=,B=,向量=,A=B,∴,x=∴﹣,y=4,x+y=∴点评:本题考查矩阵的乘法,考查学生的计算能力,属于基础题. 【选修4-3:极坐标及参数方程】23.(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.考点:直线的参数方程.菁优网版权所有专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:直线l的参数方程化为普通方程,与抛物线y2=4x联立,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长.解答:解:直线l的参数方程为,化为普通方程为x+y=3,与抛物线y2=4x联立,可得x210x+9=0﹣,∴交点A(1,2),B(9,﹣6),|AB|=∴=8.点评:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题. 【选修4-4:不等式选讲】24.(2014•江苏)已知x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.考点:不等式的证明.菁优网版权所有专题:证明题;不等式的解法及应用.分析:由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥,两式相乘可得结论.解答:证明:由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1,x2=y=1时等号成立,∴两式相乘可得(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.点评:本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键. (二)必做题(本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分)25.(10分)(2014•江苏)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:(1)先求出取2个球的所有可能,再求出颜色相同的所有可能,最后利用概率公式计算即可;(2)先判断X的所有可能值,在分别求出所有可能值的概率,列出分布列,根据数学期望公式计算即可.解答:解(1)一次取2个球共有=36种可能,2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.(2)X的所有可能值为4,3,2,则P(X=4)=,P(X=3)=于是P(X=2)=1P﹣(X=3)﹣P(X=4)=,X的概率分布列为X234P故X数学期望E(X)=.点评:本题考查了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学期望,知识点比较多,属基础题. 26.(10分)(2014•江苏)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn1﹣(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1()+f2()的值;(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn1﹣()+fn()|=都成立.考点:三角函数中的恒等变换应用;导数的运算.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用;三角函数的求值.分析:(1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:xf0(x)=sinx,然后两边求导后根据条件两边再求导得:2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,把x=代入式子求值;(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx和2f1(x)+xf2(x)=sinx﹣,利用相同的方法再对所得的式子两边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立,主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后再把x=代入所给的式子求解验证.解答:解:(1)∵f0(x)=,∴xf0(x)=sinx,则两边求导,[xf0(x)]′=(sinx)′,f∵n(x)为fn1﹣(x)的导数,n∈N*,f∴0(x)+xf1(x)=cosx,两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=sinx﹣,将x=代入上式得,2f1()+f2()=1﹣,(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+),恒成立两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=sinx=sin﹣(x+π),再对上式两边同时求导得,3f2(x)+xf3(x)=cosx=sin﹣(x+),同理可得,两边再同时求导得,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π),猜想得,nfn1﹣(x)+xfn(x)=sin(x+)对任意n∈N*恒成立,下面用数学归纳法进行证明等式成立:①当n=1时,成立,则上式成立;②假设n=k(k>1且k∈N*)时等式成立,即,[kf∵k1﹣(x)+xfk(x)]′=kfk1﹣′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x)又===,∴那么n=k+1(k>1且k∈N*)时.等式也成立,由①②得,nfn1﹣(x)+xfn(x)=sin(x+)对任意n∈N*恒成立,令x=代入上式得,nfn1﹣()+fn()=sin(+)=±cos=±,所以,对任意n∈N*,等式|nfn1﹣()+fn()|=都成立.点评:本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等,本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大,考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力.

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