2018年北京高考数学(理科)试题试卷+参考答案

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2018年北京高考数学(理科)试题试卷+参考答案文字介绍:绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。学科:网第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则AB=(A){0,1}(B){–1,0,1}(C){–2,0,1,2}(D){–1,0,1,2}(2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)(B)(C)(D)(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A)(B)(C)(D)(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4(6)设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线的距离,当θ,m变化时,d的最大值为(A)1(B)2(C)3(D)4(8)设集合则(A)对任意实数a,(B)对任意实数a,(2,1)(C)当且仅当a<0时,(2,1)(D)当且仅当时,(2,1)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。(9)设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.(10)在极坐标系中,直线与圆相切,则a=__________.(11)设函数f(x)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.(12)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y–x的最小值是__________.(13)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.(14)已知椭圆,双曲线.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为__________.三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。学@科网(15)(本小题13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=–.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.(16)(本小题14分)如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.(17)(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“”表示第k类电影得到人们喜欢,“”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差,,,,,的大小关系.(18)(本小题13分)设函数=[].(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;(Ⅱ)若在x=2处取得极小值,求a的取值范围.(19)(本小题14分)已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.(20)(本小题14分)设n为正整数,集合A=.对于集合A中的任意元素和,记M()=.(Ⅰ)当n=3时,若,,求M()和M()的值;(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素,当相同时,M()是奇数;当不同时,M()是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素,M()=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.学科&网绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D二、填空题9.10.11.12.313.y=sinx(答案不唯一)14.三、解答题(15)(共13分)解:(Ⅰ)在△ABC中,∵cosB=–,∴B∈(,π),∴sinB=.由正弦定理得=,∴sinA=.∵B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=.(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==.如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==,∴AC边上的高为.(16)(共14分)解:(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF.∵AB=BC.∴AC⊥BE,∴AC⊥平面BEF.(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.如图建立空间直角坐称系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).∴,设平面BCD的法向量为,∴,∴,令a=2,则b=-1,c=-4,∴平面BCD的法向量,又∵平面CDC1的法向量为,∴.由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为.(Ⅲ)平面BCD的法向量为,∵G(0,2,1),F(0,0,2),∴,∴,∴与不垂直,∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.(17)(共12分)解:(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为.(Ⅱ)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P()=P()+P()=P(A)(1–P(B))+(1–P(A))P(B).由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(Ⅲ)>>=>>.(18)(共13分)解:(Ⅰ)因为=[],所以f′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)=[ax2–(2a+1)x+2]ex.f′(1)=(1–a)e.由题设知f′(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.若a>,则当x∈(,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)<0在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).(19)(共14分)解:(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得.依题意,解得k<0或0

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