2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)

2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)1 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)2 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)3 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)4 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)5 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)6 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)7 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)8 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)9 2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)10
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2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)+答案解析(word版)文字介绍:2021年高考理数真题试卷(全国甲卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(共12题;共60分)1.设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5},则M∩N=(  )A.{x|0<x≤13}               B.{x|13≤x<4}               C.{x|4≤x<5}               D.{x|0<x≤5}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解:M∩N即求集合M,N的公共元素,所以M∩N={x|13≤x4}﹤,故答案为:B【分析】根据交集的定义求解即可.2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(  )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解:对于A,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%,故A正确;对于B,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%,故B正确;对于D,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5,故D正确故不正确的是C故答案为:C【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.已知(1−i)2z=3+2i,则z=(  )A.-1-32iB.-1+32iC.-32+iD.-32-i【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解:z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)i=−2+3i2=−1+32i故答案为:B【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为(  )(10√10≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【考点】指数式与对数式的互化,对数的运算性质【解析】【解答】解:由题意得,将L=4.9代入l=5+lgV,得lgV=-0.1=−110,所以V=10−110=110√10≈11.259≈0.8故答案为:C【分析】根据对数的运算法则,结合对数式与指数式的互化求解即可.5.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(  )A.√72B.√132C.√7D.√13【答案】A【考点】双曲线的定义,双曲线的简单性质【解析】【解答】解:由|PF1|=3|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a,|PF2|=a在△F1PF2中,由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosF∠1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°解得c=√72a所以e=ca=√72故答案为:A【分析】根据双曲线的定义,结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.6.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是(  )A.B.C.D.【答案】D【考点】简单空间图形的三视图,由三视图还原实物图【解析】【解答】解:由题意得正方体如图所示,则侧视图是故答案为:D【分析】根据三视图的画法求解即可.7.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递増数列,则(  )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解:当a1=-1,q=2时,{Sn}是递减数列,所以甲不是乙的充分条件;当{Sn}是递增数列时,an+1=Sn+1-Sn>0,即a1qn>0,则q>0,所以甲是乙的必要条件;所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.故答案为:B【分析】根据充要条件的判定,结合等比数列的性质求解即可.8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有以A,B,C三点,且A,B,C在同一水平而上的投影A’,B’,C\'满足∠A\'C\'B=45°,∠A\'B\'C\'=60°.由c点测得B点的仰角为15°,曲,BB\'与CC\'的差为100:由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A\'B\'C\'的高度差AA\'−CC\'约为(  )(√3≈1.732)A.346B.373C.446D.473【答案】B【考点】正弦定理,正弦定理的应用【解析】【解答】解:如图,过C作BB\'的垂线交BB\'于点M,过B作AA\'的垂线交AA\'于点N,设B\'C\'=CM=m,A\'B\'=BN=n,在△A\'B\'C\'中,由正弦定理得msin75°=nsin45°,在△BCM中,由正弦定理得msin75°=100sin15°,则nsin45°=100sin15°,解得n=200√3−1≈273,得A,C两点到水平面A\'B\'C\'的高度差AA\'-CC\'≈273+100=373.故答案为:B【分析】根据正弦定理求解即可.9.若α∈(0,π2¿,tan2α=cosα2−sinα,则tanα=¿(  )A.√1515B.√55C.√53D.√153【答案】A【考点】二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式,同角三角函数间的基本关系,同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解:由题意得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα ,则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α,解得sinα=14,又因为α∈(0,π2¿ ,所以cosα=√1−sin2α=√154所以tanα=sinαcosα=√1515故答案为:A【分析】根据二倍角公式,结合同角三角函数基本关系求解即可.10.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(  )A.13B.25C.23D.45【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式,排列、组合的实际应用,排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解:将4个1和2个0随机排成一行共有C62种排法,先将4个1全排列,再用插空法将2个0插入进行排列,共有C52种排法,则所求概率为P=C52C62=23故答案为:C【分析】根据古典概型,结合插空法求解即可.11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1⊥,则三棱锥O-ABC的体积为(  )A.√212B.√312C.√24D.√34【答案】A【考点】球面距离及相关计算,棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解:记△ABC的外接圆圆心为O1,由ACBC⊥,AC=BC=1知O1为AB的中点,且AB=√2,OC=√22,又球的半径为1,所以OA=OB=OC=1,所以OA2+OB2=AB2,OO1=√22,则OO12+O1C2=OC2则OO1O⊥1C,OO1AB⊥,所以OO1⊥平面ABC,所以VO−ABC=13·S△ABC·OO1=13·12·1·1·√22=√212故答案为:A【分析】根据直角三角形的几何性质,结合三棱锥的外接球的性质,运用三棱锥的体积公式直接求解即可.12.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(92)=¿(  )A.−94B.−32C.74D.52【答案】D【考点】函数奇偶性的性质,函数的值【解析】【解答】解:因为f(x+1)是奇函数,所以f(1)=0,即a+b=0,则b=-a,又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0,由f(0)+f(3)=6得a=-2,所以f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)¿−f(−12+2)=−f(32)=−94a−b=−54a=52故答案为:D【分析】根据函数的奇偶性,利用函数的性质求解即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。(共4题;共20分)13.曲线y=2x−1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为________。【答案】5x-y+2=0【考点】导数的几何意义,直线的点斜式方程【解析】【解答】解:由题意得y\'=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2,所以在点(-1,-3)处的切线斜率k=5,故切线方程为y+3=5(x+1),即5x-y+2=0故答案为:5x-y+2=0【分析】根据导数的几何意义,结合直线的点斜式方程求解即可.14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若ac⊥,则k=________。【答案】−103【考点】平面向量的坐标运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解:c→=a→+kb→=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1),由a→⊥c→得a→·c→=3·(3+k)+1=0,解得k=−103故答案为:−103【分析】根据向量的坐标运算,结合向量垂直的判断条件求解即可.15.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点堆成的两点,且¿PQ∨¿∨F1F2∨¿,则四边形PF1QF2的面积为________。【答案】8【考点】椭圆的定义,三角形中的几何计算【解析】【解答】解:由|PQ|=|F1F2|,得|OP|=12|F1F2|,所以PF1PF⊥2,所以SPF1QF2=2S△PF1F2=2×b2×tan∠F1PF22=8故答案为:8【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质,结合三角形的面积公式求解即可16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则满足条件(f(x)−f(−7π4)¿(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________。【答案】2【考点】一元二次不等式的解法,余弦函数的图象【解析】【解答】解:由3T4=13π12−π3=3π4得T=π,ω=2将点(π3,0)代入f(x)=2cos(2x+φ),得2cos(2×π3+φ)=0则2π3+φ=π2,所以φ=−π6所以f(x)=2cos(2x−π6)(f(x)−f(−7π4)¿(f(x)−f(4π3))>0 等价于(f(x)−1)(f(x)+√3)>0则f(x)<−√3或f(x)>1由图象得最小整数x∈(π2,3π4),所以x=2故答案为:2【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.三、解答題:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(共5题;共60分)17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是:150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是:120200=35(2)由于K2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表,独立性检验,独立性检验的应用【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.18.已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列:②数列{√Sn}是等差数列;③a2=3a1注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】选①②作条件证明③:设√Sn=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2,当n=1时,a1=S1=(a+b)2;当n≥2时,an=Sn−Sn−1=(an+b)2−(an−a+b)2¿a(2an−a+2b);因为{an}也是等差数列,所以(a+b)2=a(2a−a+2b),解得b=0;所以an=a2(2n−1),所以a2=3a1.选①③作条件证明②:因为a2=3a1,{an}是等差数列,所以公差d=a2−a1=2a1,所以Sn=na1+n(n−1)2d=n2a1,即√Sn=√a1n,因为√Sn+1−√Sn=√a1(n+1)−√a1n=√a1,所以{√Sn}是等差数列.选②③作条件证明①:设√Sn=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2,当n=1时,a1=S1=(a+b)2;当n≥2时,an=Sn−Sn−1=(an+b)2−(an−a+b)2¿a(2an−a+2b);因为a2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=−4a3;当b=0时,a1=a2,an=a2(2n−1),当n≥2时,an-an-1=2a2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;当b=−4a3时,√Sn=an+b=an−43a,√S1=−a3<0不合题意,舍去.综上可知{an}为等差数列.【考点】数列的概念及简单表示法,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和【解析】【分析】选(1)(2)做条件时,证明③:根据等差数列的定义得出√Sn=an+b(a>0),且{an}也是等差数列,进一步递推出③a2=3a1;若选①③作条件证明②:由a2=3a1,显然d=a2−a1=2a1再写出前n项的和与a1,n的关系式√Sn=√a1n,进而证明{√Sn}是等差数列.;选②③作条件证明①:先设√Sn=an+b(a>0),进一步形为Sn=(an+b)2,再根据an与sn的关系,分n为1,n>1,推导出an-an-1=2a2,显然{an}为等差数列。19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF丄A1B1.(1) 证明:BFDE⊥;(2)当为B1D何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?【答案】(1)因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB因为A1B1//AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,又BB1∩BF=B,所以AB⊥平面BCC1B1.所以BA,BC,BB1两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).由题设D(a,0,2)(0≤a≤2).因为´BF=(0,2,1),´DE=(1−a,1,−2),所以´BF⋅´DE=0×(1−a)+2×1+1×(−2)=0,所以BF⊥DE.(2)设平面DFE的法向量为⃗m=(x,y,z),因为´EF=(−1,1,1),´DE=(1−a,1,−2),所以{´m⋅´EF=0´m⋅´DE=0,即{−x+y+z=0(1−a)x+y−2z=0.令z=2−a,则´m=(3,1+a,2−a)因为平面BCC1B1的法向量为⃗BA=(2,0,0),设平面BCC1B1与平面¿的二面角的平面角为θ,则¿cosθ∨¿¿´m⋅´BA∨¿¿´m∨⋅∨´BA∨¿=62×√2a2−2a+14=3√2a2−2a+14¿¿.当a=12时,2a2−2a+4取最小值为272,此时cosθ取最大值为3√272=√63.所以(sinθ)min=√1−(√63)2=√33,此时B1D=12.【考点】直线与平面垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法【解析】【分析】(1)根据条件,先证明BA,BC,BB1两两垂直,再建立如图所示空间直角坐标系,定义相关点的坐标,用空间向量证明BF⊥DE.(2)先设D(a,0,2)设出平面平面DFE的法向量及平面BCC1B1的法向量,分别求出二法向量,再由向量的夹角公式,得到夹角余弦值,当其值最大时正弦值最小,确定此时的a值即为B1D的值。20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x=1交C于P,Q两点,且OP丄OQ.已知点M(2,0),且⊙M与L相切,(1)求⊙M的方程;(2)设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,判断A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.【答案】(1)依题意设抛物线C:y2=2px(p>0),P(1,y0),Q(1,−y0),∵OP⊥OQ,∴⃗OP⋅⃗OQ=1−y02=1−2p=0,∴2p=1,所以抛物线C的方程为y2=x,M(0,2),⊙M与x=1相切,所以半径为1,所以⊙M的方程为(x−2)2+y2=1;(2)设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)若A1A2斜率不存在,则A1A2方程为x=1或x=3,若A1A2方程为x=1,根据对称性不妨设A1(1,1),则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在A3,不合题意;若A1A2方程为x=3,根据对称性不妨设A1(3,√3),A2(3,−√3),则过A1与圆M相切的直线A1A3为y−√3=√33(x−3),又kA1A3=y1−y3x1−x3=1y1+y3=1√3+y3=√33,∴y3=0,x3=0,A3(0,0),此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称,所以直线A2A3与圆M相切;若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在,则kA1A2=1y1+y2,kA1A3=1y1+y3,kA2A3=1y2+y3,所以直线A1A2方程为y−y1=1y1+y2(x−x1),整理得x−(y1+y2)y+y1y2=0,同理直线A1A3的方程为x−(y1+y3)y+y1y3=0,直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0,∵A1A2与圆M相切,∴¿2+y1y2∨¿√1+(y1+y2)2=1¿整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0,A1A3与圆M相切,同理(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0所以y2,y3为方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两根,y2+y3=−2y1y12−1,y2⋅y3=3−y12y12−1,M到直线A2A3的距离为:¿2+y2y3∨¿√1+(y2+y3)2=¿2+3−y12y12−1∨¿√1+(−2y1y12−1)2¿¿¿¿y12+1∨¿√(y12−1)2+4y12=y12+1y12+1=1¿,所以直线A2A3与圆M相切;综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切,则直线A2A3与圆M相切.【考点】平面向量的综合题,圆的标准方程,点的极坐标和直角坐标的互化,圆的参数方程【解析】【分析】(1)先设抛物线的方程C:y2=2px(p>0),由对称性,可知P(1,y0),Q(1,−y0),进而由OP⊥OQ,可以很容易求出抛物线的P值,进而写出抛物线的方程;由于圆M的圆心已知,且与x=1相切,立刻知道半径,故很容易求得M的方程;(2)先设出A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)三点的坐标,分A1A2斜率不存在及直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在讨论,分别写出相应的直线方程,根据相关直线与圆相切的条件,分别代入抛物线方程,利用达定理,点到直线距离公式等知识,推导结论。21.己知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax(x>0),(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【答案】(1)当a=2时,f(x)=x22x,f\'(x)=2x·2x−x2·2xln2(2x)2=x·2x(2−xln2)4x,令f\'(x)=0得x=2ln2,当00,当x>2ln2时,f\'(x)<0,∴函数f(x)在¿上单调递增;¿上单调递减;(2)f(x)=xaax=1⇔ax=xa⇔xlna=alnx⇔lnxx=lnaa,设函数g(x)=lnxx,则g\'(x)=1−lnxx2,令g\'(x)=0,得x=e,在(0,e)内g\'(x)>0,g(x)单调递增;在(e,+∞)上g\'(x)<0,g(x)单调递减;∴g(x)max=g(e)=1e,又g(1)=0,当x趋近于+∞时,g(x)趋近于0,所以曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,即曲线y=g(x)与直线y=alna有两个交点的充分必要条件是00,当y=f(x+a)过A(12,4)时,¿12+a−2∨¿4,解得a=112或−52(舍去),则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位,∴a≥112.【考点】函数的图象与图象变化,分段函数的解析式求法及其图象的作法,不等式的综合【解析】【分析】(1)先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式,然后分段作图;(2)将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内,(注意f(x+a)与 f(x)图象的关系),由f(x+a)≥g(x),确定a的取值范围。

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