高一年级数学下册（第2.3.4课时）《平面向量的正交分解及坐标表示和运算》PPT教学课件 (2)

平面向量的基本定理及坐标表示第二章平面向量2.3.4　平面向量共线的坐标表示栏目导航CONTENT自主预习学案01互动探究学案02课时作业学案03自主预习学案第二章平面向量01首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合．你知道如何判断两条直线平行或重合吗，两向量是否共线又如何判断呢？平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当_______________时，a∥b.[知识点拨]两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．x1y2＝x2y1第二章平面向量(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1x2＝y1y2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．()(3)若A，B，C三点共线，则向量AB→，BC→，CA→都是共线向量．()(4)已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m＝－12.()×√√√1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1x2＝y1y2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．()(3)若A，B，C三点共线，则向量AB→，BC→，CA→都是共线向量．()(4)已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m＝－12.()第二章平面向量2．下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)3．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝(　　)A．13B．－13C．9D．－9DD[解析]AB→＝(－8,8)，BC→＝(11，y－2)，则AB→∥BC→，所以－8(y－2)－8×11＝0，解得y＝－9.[解析]AB→＝(－8,8)，BC→＝(11，y－2)，则AB→∥BC→，所以－8(y－2)－8×11＝0，解得y＝－9.互动探究学案第二章平面向量02已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？命题方向1　向量共线条件的坐标表示⇨典例1[思路分析]求λa－b与a＋2b的坐标→根据平行条件构造方程→求λ→判断方向.[思路分析]求λa－b与a＋2b的坐标→根据平行条件构造方程→求λ→判断方向.第二章平面向量[解析]λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12.∴－12a－b＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，72)，即λa－b＝－12(a＋2b)．故当λ＝－12时，λa－b与a＋2b平行；平行时它们反向．[解析]λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12.∴－12a－b＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，72)，即λa－b＝－12(a＋2b)．故当λ＝－12时，λa－b与a＋2b平行；平行时它们反向．第二章平面向量『规律总结』　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.第二章平面向量〔跟踪练习1〕(2018·全国卷Ⅲ理，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝______.[解析]2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.12[解析]2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.12第二章平面向量命题方向2　三点共线问题⇨典例2O是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)．当k为何值时，A、B、C三点共线？[思路分析]由A、B、C三点共线可知，AB→、AC→、BC→中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k值．O是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)．当k为何值时，A、B、C三点共线？[思路分析]由A、B、C三点共线可知，AB→、AC→、BC→中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k值．第二章平面向量[解析]∵AB→＝OB→－OA→＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11，或k＝－2.『规律总结』使用A、B、C三点共线这一条件时，AC→＝λBC→，或AB→＝λAC→等，都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式，故用AB→和BC→.[解析]∵AB→＝OB→－OA→＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11，或k＝－2.『规律总结』使用A、B、C三点共线这一条件时，AC→＝λBC→，或AB→＝λAC→等，都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式，故用AB→和BC→.第二章平面向量〔跟踪练习2〕如果向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．[解析]依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．∵AB→、BC→共线，∴1×m－(－2)×1＝0.∴m＝－2.即当m＝－2时，A、B、C三点共线．〔跟踪练习2〕如果向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．[解析]依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．∵AB→、BC→共线，∴1×m－(－2)×1＝0.∴m＝－2.即当m＝－2时，A、B、C三点共线．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．向量法在解析几何中的应用典例3第二章平面向量[思路分析]　(1)AC与OB相交于点P，则必有O，P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O，P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标．第二章平面向量[解析]解法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)．由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．[解析]解法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)．由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．第二章平面向量解法二：设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，OB→＝(4,4)，∵P、B、O三点共线，∴OP→∥OB→.∴4x－4y＝0.又AP→＝OP→－OA→＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，AC→＝OC→－OA→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P、A、C三点共线，∴AP→∥AC→.∴6(x－4)＋2y＝0.由4x－4y＝0，6?x－4?＋2y＝0，得x＝3，y＝3.∴点P的坐标为(3,3)．解法二：设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，OB→＝(4,4)，∵P、B、O三点共线，∴OP→∥OB→.∴4x－4y＝0.又AP→＝OP→－OA→＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，AC→＝OC→－OA→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P、A、C三点共线，∴AP→∥AC→.∴6(x－4)＋2y＝0.由4x－4y＝0，6?x－4?＋2y＝0，得x＝3，y＝3.∴点P的坐标为(3,3)．第二章平面向量『规律总结』　应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中．第二章平面向量〔跟踪练习3〕已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P，使AP→＝13AB→.[解析]设点P(x，y)，则AP→＝(x－3，y＋4)，AB→＝(－12,6)，∴(x－3，y＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，即x－3＝－4，y＋4＝2，∴x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．〔跟踪练习3〕已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P，使AP→＝13AB→.[解析]设点P(x，y)，则AP→＝(x－3，y＋4)，AB→＝(－12,6)，∴(x－3，y＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，即x－3＝－4，y＋4＝2，∴x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值．处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况典例4[错解]由题意，得3m＝2－m－m，解得m＝5.[错因分析]本题中，当m＝0时，b＝0，显然a∥b成立．错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m·(－m)≠0，漏掉了m＝0这种情况．[正解]∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5.[误区警示]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的条件为x1y2－x2y1＝0.要注意此条件与条件x1x2＝y1y2的区别，应用x1x2＝y1y2时，分母应不为零．[错解]由题意，得3m＝2－m－m，解得m＝5.[错因分析]本题中，当m＝0时，b＝0，显然a∥b成立．错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m·(－m)≠0，漏掉了m＝0这种情况．[正解]∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5.[误区警示]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的条件为x1y2－x2y1＝0.要注意此条件与条件x1x2＝y1y2的区别，应用x1x2＝y1y2时，分母应不为零．第二章平面向量〔跟踪练习4〕已知向量a＝(－1，－1)，b＝(－m,4m＋5)，且a∥b，则m等于()A．－1B．－53C．－1或－53D．0或－2A[解析]由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1.〔跟踪练习4〕已知向量a＝(－1，－1)，b＝(－m,4m＋5)，且a∥b，则m等于()A．－1B．－53C．－1或－53D．0或－2[解析]由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1.1．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)C．e1＝(－3,4)，e2＝(35，－45)D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)B1．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)C．e1＝(－3,4)，e2＝(35，－45)D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)第二章平面向量2．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，则m等于(　　)A．－1B．－2C．－1或3D．0或－2CA3．若A(2,1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于()A．－1B．0C．12D．23．若A(2,1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于()A．－1B．0C．12D．2课时作业学案第二章平面向量03谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版