高一年级数学下册《平面向量应用举例》PPT教学课件

平面向量应用举例第二章平面向量栏目导航CONTENT自主预习学案01互动探究学案02课时作业学案03自主预习学案第二章平面向量01有一个人要去火车站坐车，由于时间紧迫，他一跳上出租车，就急着说：“快！快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，这个人才发现不太对劲，问道：“我没有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你只叫我快开啊！”这个人于是说：“对不起，请掉头，我要去火车站．”由此可见，速度不仅有大小，而且有方向．在我们的生活中，有太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．有一个人要去火车站坐车，由于时间紧迫，他一跳上出租车，就急着说：“快！快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，这个人才发现不太对劲，问道：“我没有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你只叫我快开啊！”这个人于是说：“对不起，请掉头，我要去火车站．”由此可见，速度不仅有大小，而且有方向．在我们的生活中，有太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：______________________________.a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)第二章平面向量(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_______________________________.(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)cosθ＝a·b|a||b|a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)cosθ＝a·b|a||b|第二章平面向量2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，________________________________________________.(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而____________________________________________________.可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度第二章平面向量[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立，且AB与CD无公共点．(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→.(3)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA→与向量BC→的夹角即可．[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立，且AB与CD无公共点．(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→.(3)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA→与向量BC→的夹角即可．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)若AB→∥CD→，则直线AB与直线CD平行．()(2)若△ABC是直角三角形，则必有CA→·CB→＝0.()××1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)若AB→∥CD→，则直线AB与直线CD平行．()(2)若△ABC是直角三角形，则必有CA→·CB→＝0.()第二章平面向量(3)若四边形ABCD是矩形，则必有AB→·BC→＝0.()(4)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减．()(5)动量mv是数乘向量．()(6)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.()√√√√(3)若四边形ABCD是矩形，则必有AB→·BC→＝0.()(4)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减．()(5)动量mv是数乘向量．()(6)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.()第二章平面向量2．四边形ABCD中，若AB→＝12DC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形D[解析]∵AB→＝12DC→，∴AB∥DC且AB≠DC，应为梯形．2．四边形ABCD中，若AB→＝12DC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]∵AB→＝12DC→，∴AB∥DC且AB≠DC，应为梯形．互动探究学案第二章平面向量02如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．[思路分析]　本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．命题方向1　向量在平面几何中的应用⇨典例1第二章平面向量[解析]设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，而|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，①∴|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.∵由①得2a·b＝1.∴|AC→|2＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.[解析]设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，而|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，①∴|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.∵由①得2a·b＝1.∴|AC→|2＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.第二章平面向量『规律总结』用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.『规律总结』用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.第二章平面向量〔跟踪练习1〕如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．〔跟踪练习1〕如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．第二章平面向量[解析](1)设AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.∴|AD→|2＝AD→2＝(23a＋13b)2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD＝3.[解析](1)设AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.∴|AD→|2＝AD→2＝(23a＋13b)2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD＝3.第二章平面向量(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD→与AC→的夹角．∵cosθ＝AD→·AC→|AD→||AC→|＝23a＋13b·b3×3＝13b2＋23a·b33＝13×9＋23×3×3×－1233＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD→与AC→的夹角．∵cosθ＝AD→·AC→|AD→||AC→|＝23a＋13b·b3×3＝13b2＋23a·b33＝13×9＋23×3×3×－1233＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°第二章平面向量如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.命题方向2　向量在物理中的应用⇨典例2[思路分析]分析条件→转化为向量加法问题→求解[思路分析]分析条件→转化为向量加法问题→求解第二章平面向量[解析](1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|tanθ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F1|＝|G|cosθ.由|F1|≤2|G|，得cosθ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.[解析](1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|tanθ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F1|＝|G|cosθ.由|F1|≤2|G|，得cosθ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.第二章平面向量『规律总结』　1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．第二章平面向量〔跟踪练习2〕两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1、F2分别对该质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对该质点所做的功．第二章平面向量[解析]AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.[解析]AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．用向量方法探究存在性问题第二章平面向量在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?典例3[思路分析]本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量BP→的坐标设出，从而得到CP→的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．[思路分析]本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量BP→的坐标设出，从而得到CP→的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．第二章平面向量[解析]以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则AC→＝(3，－4)．∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，∴AM→＝13AC→＝(1，－43)，∴M(4，83)，[解析]以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则AC→＝(3，－4)．∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，∴AM→＝13AC→＝(1，－43)，∴M(4，83)，第二章平面向量∴BM→＝(4，83)．假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设BP→＝λBM→，且0<λ<1，即BP→＝λBM→＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)，∴CP→＝CB→＋BP→＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)．∵PC⊥BM，∴CP→·BM→＝0，∴BM→＝(4，83)．假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设BP→＝λBM→，且0<λ<1，即BP→＝λBM→＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)，∴CP→＝CB→＋BP→＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)．∵PC⊥BM，∴CP→·BM→＝0，第二章平面向量『规律总结』　本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．得4(4λ－6)＋83×83λ＝0，解得λ＝2726.∵λ＝2726∉(0,1)，∴线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.得4(4λ－6)＋83×83λ＝0，解得λ＝2726.∵λ＝2726∉(0,1)，∴线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.如图所示，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m．求此人对物体所的功．做功问题因对角度认识不清而致错典例4第二章平面向量[错因分析]　要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得此人对物体所做的功．错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不是作用力F与物体的位移s两者之间的夹角．[错解]记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×32＝753(J)，所以此人对物体所做的功为753J.[错解]记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×32＝753(J)，所以此人对物体所做的功为753J.第二章平面向量[正解]因为绳索长1.5m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sinθ＝1.2sin60°1.5＝235，所以cosθ＝1－sin2θ＝135，记沿斜面向上方向的单位为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×135＝3013(J)，所以此人对物体所做的功为3013J．[正解]因为绳索长1.5m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sinθ＝1.2sin60°1.5＝235，所以cosθ＝1－sin2θ＝135，记沿斜面向上方向的单位为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×135＝3013(J)，所以此人对物体所做的功为3013J．1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(　　)A．(8,0)B．(9,1)C．(－1,9)D．(3,1)[解析]　∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．B第二章平面向量2.在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形D[解析]由AB→＋CD→＝0，得AB→＝－CD→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形．又AC→·BD→＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．2.在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形[解析]由AB→＋CD→＝0，得AB→＝－CD→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形．又AC→·BD→＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．课时作业学案第二章平面向量03谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版