高一年级数学下册(第三章)《简单的三角恒等变换》PPT教学课件

简单的三角恒等变换第三章三角恒等变换栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203自主预习学案第三章三角恒等变换01变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此．可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落．在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式，通过对各公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？1．半角公式(不要求记忆)sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝________________，tanα2＝________________＝1－cosαsinα＝sinα1＋cosα.符号由α2所在的象限决定．±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα1．半角公式(不要求记忆)sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝________________，tanα2＝________________＝1－cosαsinα＝sinα1＋cosα.符号由α2所在的象限决定．±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα第三章三角恒等变换sin2x2．常见的三角恒等变换(1)asinx＋bcosx＝__________sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝ba，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论ba＝±1，±3，±33的情况．(2)sin2x＝1－cos2x2，cos2x＝___________，sinxcosx＝12______________.a2＋b21＋cos2x22．常见的三角恒等变换(1)asinx＋bcosx＝__________sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝ba，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论ba＝±1，±3，±33的情况．(2)sin2x＝1－cos2x2，cos2x＝___________，sinxcosx＝12______________.a2＋b21＋cos2x2第三章三角恒等变换[知识点拨](1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，sinα2，cosα2，tanα2便可求出．(3)由于tanα2＝sinα1＋cosα及tanα2＝1－cosαsinα不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2α2＝1－cosα2和cos2α2＝1＋cosα2.[知识点拨](1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，sinα2，cosα2，tanα2便可求出．(3)由于tanα2＝sinα1＋cosα及tanα2＝1－cosαsinα不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2α2＝1－cosα2和cos2α2＝1＋cosα2.第三章三角恒等变换[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．第三章三角恒等变换(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2，sinx－siny＝2cosx＋y2sinx－y2，cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2，cosx－cosy＝－2sinx＋y2sinx－y2.(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2，sinx－siny＝2cosx＋y2sinx－y2，cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2，cosx－cosy＝－2sinx＋y2sinx－y2.1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)sinα2＝±1＋cosα2.()(2)cos20°＝±1＋cos40°2.()(3)tanα2＝sinα1－cosα＝1＋cosαsinα()(4)sin4α＋3cos4α＝2sin(4α＋π3)．()×××√1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)sinα2＝±1＋cosα2.()(2)cos20°＝±1＋cos40°2.()(3)tanα2＝sinα1－cosα＝1＋cosαsinα()(4)sin4α＋3cos4α＝2sin(4α＋π3)．()第三章三角恒等变换2．已知180°<α<360°，由cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－cosα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2C2．已知180°<α<360°，由cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－cosα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2互动探究学案第三章三角恒等变换02命题方向1　应用半角公式求值⇨典例1已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2.[思路分析]已知条件中的角θ与所求角中的θ2成二倍关系，从而选择半角公式求值．已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2.[思路分析]已知条件中的角θ与所求角中的θ2成二倍关系，从而选择半角公式求值．第三章三角恒等变换[解析]∵sinθ＝45，5π2<θ<3π，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2＝－1－cosθ2＝－255，cosθ2＝－1＋cosθ2＝－55，tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2.[解析]∵sinθ＝45，5π2<θ<3π，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2＝－1－cosθ2＝－255，cosθ2＝－1＋cosθ2＝－55，tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2.第三章三角恒等变换『规律总结』已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．『规律总结』已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．第三章三角恒等变换〔跟踪练习1〕设π<θ<2π，cosθ2＝－35，求(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2θ4的值．〔跟踪练习1〕设π<θ<2π，cosθ2＝－35，求(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2θ4的值．第三章三角恒等变换[解析](1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，又cosθ2＝－35，∴sinθ2＝1－cos2θ2＝1－－352＝45，∴sinθ＝2sinθ2cosθ2＝2×(－35)×45＝－2425.(2)cosθ＝2cos2θ2－1＝2×(－35)2－1＝－725.(3)sin2θ4＝1－cosθ22＝1－－352＝45.[解析](1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，又cosθ2＝－35，∴sinθ2＝1－cos2θ2＝1－－352＝45，∴sinθ＝2sinθ2cosθ2＝2×(－35)×45＝－2425.(2)cosθ＝2cos2θ2－1＝2×(－35)2－1＝－725.(3)sin2θ4＝1－cosθ22＝1－－352＝45.第三章三角恒等变换命题方向2　三角恒等式的化简与证明⇨典例2求证tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.[思路分析]可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝3x2－x2，2x＝3x2＋x2，从消除等式两边角的差异入手考虑．求证tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.[思路分析]可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝3x2－x2，2x＝3x2＋x2，从消除等式两边角的差异入手考虑．第三章三角恒等变换[证明]证法一：tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝sin3x2cosx2－cos3x2sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2＝sinxcos3x2cosx2＝2sinxcos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sinxcosx＋cos2x.[证明]证法一：tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝sin3x2cosx2－cos3x2sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2＝sinxcos3x2cosx2＝2sinxcos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sinxcosx＋cos2x.第三章三角恒等变换证法二：2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.证法二：2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.第三章三角恒等变换『规律总结』　化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式了的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．第三章三角恒等变换〔跟踪练习2〕求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[证明]证法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．〔跟踪练习2〕求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[证明]证法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．第三章三角恒等变换证法二左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2αsinα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．证法二左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2αsinα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．将下列各式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式：辅助角公式的应用典例3(1)y＝3sinx－3cosx；(2)y＝cos2x(sin2x＋cos2x)；(3)y＝sin(x2＋π3)＋sinx2.[思路分析]利用三角函数公式将函数解析式化为asinωx＋bcosωx的形式，再利用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．(1)y＝3sinx－3cosx；(2)y＝cos2x(sin2x＋cos2x)；(3)y＝sin(x2＋π3)＋sinx2.[思路分析]利用三角函数公式将函数解析式化为asinωx＋bcosωx的形式，再利用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．第三章三角恒等变换[解析](1)y＝3sinx－3cosx＝23(sinx·32－cosx·12)＝23(sinx·cosπ6－cosx·sinπ6)＝23sin(x－π6)．(2)y＝cos2x(sin2x＋cos2x)＝sin2xcos2x＋cos22x＝12sin4x＋1＋cos4x2＝12sin4x＋12cos4x＋12＝22(sin4x·22＋cos4x·22)＋12＝22(sin4x·cosπ4＋cos4x·sinπ4)＋12＝22sin(4x＋π4)＋12.[解析](1)y＝3sinx－3cosx＝23(sinx·32－cosx·12)＝23(sinx·cosπ6－cosx·sinπ6)＝23sin(x－π6)．(2)y＝cos2x(sin2x＋cos2x)＝sin2xcos2x＋cos22x＝12sin4x＋1＋cos4x2＝12sin4x＋12cos4x＋12＝22(sin4x·22＋cos4x·22)＋12＝22(sin4x·cosπ4＋cos4x·sinπ4)＋12＝22sin(4x＋π4)＋12.第三章三角恒等变换(3)y＝sin(x2＋π3)＋sinx2＝sinx2cosπ3＋cosx2sinπ3＋sinx2＝32sinx2＋32cosx2＝3(sinx2·32＋cosx2·12)＝3sin(x2＋π6)．(3)y＝sin(x2＋π3)＋sinx2＝sinx2cosπ3＋cosx2sinπ3＋sinx2＝32sinx2＋32cosx2＝3(sinx2·32＋cosx2·12)＝3sin(x2＋π6)．第三章三角恒等变换『规律总结』将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为12sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．『规律总结』将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤(1)将sinxcosx运用二倍角公式化为12sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．设3π<α<4π，cosα2＝m，那么cosα4等于()A．m＋12B．－m＋12C．－1－m2D．1－m2应用半角公式求值时错用公式典例4[错解]选A或选C设3π<α<4π，cosα2＝m，那么cosα4等于()A．m＋12B．－m＋12C．－1－m2D．1－m2[错解]选A或选C第三章三角恒等变换[错因分析]将余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选C；或忽略对角α4范围的讨论导致符号错误错选A．[正解]B由于cosα2＝2cos2α4－1，可得cos2α4＝1＋cosα22.又3π<α<4π，所以3π4<α4<π.所以cosα4<0.所以cosα4＝－m＋12.[误区警示]正确运用半角公式求解问题的两个注意点：(1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提．(2)应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．[错因分析]将余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选C；或忽略对角α4范围的讨论导致符号错误错选A．[正解]B由于cosα2＝2cos2α4－1，可得cos2α4＝1＋cosα22.又3π<α<4π，所以3π4<α4<π.所以cosα4<0.所以cosα4＝－m＋12.[误区警示]正确运用半角公式求解问题的两个注意点：(1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提．(2)应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．1．下列各式与tanα相等的是()A．1－cos2α1＋cos2αB．sinα1＋cosαC．sinα1－cos2αD．1－cos2αsin2αD[解析]1－cos2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.1．下列各式与tanα相等的是()A．1－cos2α1＋cos2αB．sinα1＋cosαC．sinα1－cos2αD．1－cos2αsin2α[解析]1－cos2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.第三章三角恒等变换2．设－3π<α<－5π2，则化简1－cosα－π2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα2C[解析]∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cosα2<0，∴原式＝1＋cosα2＝|cosα2|＝－cosα2.2．设－3π<α<－5π2，则化简1－cosα－π2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα2[解析]∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cosα2<0，∴原式＝1＋cosα2＝|cosα2|＝－cosα2.课时作业学案第三章三角恒等变换03谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版