高一年级数学下册(第3.1.1课时)《两角差的余弦公式》PPT教学课件

两角和与差的正弦余弦和正切公式第三章三角恒等变换3.1.1　两角差的余弦公式第三章三角恒等变换下图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．那么在测量这类建筑物的高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC＝α－β的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．事实上，变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经在初中学习过，而且在必修4的第一章也涉及同角三角函数的变换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的一种变换.下图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．那么在测量这类建筑物的高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC＝α－β的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．事实上，变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经在初中学习过，而且在必修4的第一章也涉及同角三角函数的变换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的一种变换.自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航CONTENT自主预习学案第三章三角恒等变换01我们知道cos45°＝22，cos30°＝32.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为cos15°的值应该是一个正值，而cos45°－cos30°是一个负值，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？我们知道cos45°＝22，cos30°＝32.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为cos15°的值应该是一个正值，而cos45°－cos30°是一个负值，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？两角差的余弦公式(1)cos(α－β)＝___________________________.(2)此公式简记作C(α－β)．[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正符号相反”记忆公式．cosαcosβ＋sinαsinβ第三章三角恒等变换(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.(　　)(2)对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cosα－cosβ.(　　)(3)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(　　)(4)当α，β为锐角时，必有cos(α－β)>cosαcosβ.(　　)××√√第三章三角恒等变换2．cos(30°－45°)等于()A．22B．32C．2＋34D．2＋64D[解析]cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝2＋64.2．cos(30°－45°)等于()A．22B．32C．2＋34D．2＋64[解析]cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝2＋64.互动探究学案第三章三角恒等变换02(1)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝______.(2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝______.(3)求值：cos15°＝____________.[思路分析]　尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用Cα－β进行求值．命题方向1　两角差的余弦公式的正用和逆用⇨典例1126＋2412126＋2412第三章三角恒等变换[解析](1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12.(3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.[解析](1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12.(3)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.第三章三角恒等变换『规律总结』　运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．第三章三角恒等变换〔跟踪练习1〕求下列各式的值．(1)cos40°cos20°－sin40°sin20°；(2)cos73πcos116π＋sin23πsin56π.〔跟踪练习1〕求下列各式的值．(1)cos40°cos20°－sin40°sin20°；(2)cos73πcos116π＋sin23πsin56π.第三章三角恒等变换[解析](1)原式＝cos(40°＋20°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos(2π＋π3)cos(2π－π6)＋sin(π－π3)sin(π－π6)＝cosπ3cosπ6＋sinπ3sinπ6＝cos(π3－π6)＝cosπ6＝32.[解析](1)原式＝cos(40°＋20°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos(2π＋π3)cos(2π－π6)＋sin(π－π3)sin(π－π6)＝cosπ3cosπ6＋sinπ3sinπ6＝cos(π3－π6)＝cosπ6＝32.第三章三角恒等变换命题方向2　给值求值⇨典例2已知sinα＝－45，sinβ＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α－β)＝______.(2)已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cosα的值．[思路分析](1)求出cosα，cosβ，利用公式进行求解；(2)利用cosα＝cos(α＋π4－π4)进行凑角．1665已知sinα＝－45，sinβ＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cos(α－β)＝______.(2)已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cosα的值．[思路分析](1)求出cosα，cosβ，利用公式进行求解；(2)利用cosα＝cos(α＋π4－π4)进行凑角．1665第三章三角恒等变换[解析](1)∵180°<α<270°，∴cosα＝－35；又∵90°<β<180°，∴cosβ＝－1213；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×(－1213)＋(－45)×513＝1665.(2)∵π4<α<34π，∴π2<α＋π4<π∴cos(α＋π4)＝－35，cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.[解析](1)∵180°<α<270°，∴cosα＝－35；又∵90°<β<180°，∴cosβ＝－1213；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×(－1213)＋(－45)×513＝1665.(2)∵π4<α<34π，∴π2<α＋π4<π∴cos(α＋π4)＝－35，cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.第三章三角恒等变换『规律总结』给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．『规律总结』给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．第三章三角恒等变换〔跟踪练习2〕已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cosβ的值．[思路分析]观察题意，不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然后利用公式C(α－β)来变形求值．[解析]∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝437，〔跟踪练习2〕已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cosβ的值．[思路分析]观察题意，不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然后利用公式C(α－β)来变形求值．[解析]∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝437，第三章三角恒等变换sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.(1)已知α为三角形的内角且12cosα＋32sinα＝12，则α＝________.(2)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．给值求角典例323π(1)已知α为三角形的内角且12cosα＋32sinα＝12，则α＝________.(2)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．23π第三章三角恒等变换[思路分析](1)由公式可求出cos(α－π3)的值，再根据α的范围确定α－π3的值．(2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出2β的值，再求β的值．[思路分析](1)由公式可求出cos(α－π3)的值，再根据α的范围确定α－π3的值．(2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出2β的值，再求β的值．第三章三角恒等变换[解析](1)∵12cosα＋32sinα＝cos(α－π3)＝12.又∵0<α<π，∴－π3<α－π3<2π3，∴α－π3＝π3，∴α＝23π.(2)由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.[解析](1)∵12cosα＋32sinα＝cos(α－π3)＝12.又∵0<α<π，∴－π3<α－π3<2π3，∴α－π3＝π3，∴α＝23π.(2)由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.第三章三角恒等变换cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋(－513)×513＝－1.又因为α＋β∈(32π，2π)，α－β∈(π2，π)，所以2β∈(π2，3π2)．所以2β＝π，所以β＝π2.cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋(－513)×513＝－1.又因为α＋β∈(32π，2π)，α－β∈(π2，π)，所以2β∈(π2，3π2)．所以2β＝π，所以β＝π2.第三章三角恒等变换『规律总结』　已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，则α－β＝____________.已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误典例4[错解]∵α为锐角，sinα＝55，∴cosα＝255.又β为锐角，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.∴α－β＝π4.已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，则α－β＝____________.[错解]∵α为锐角，sinα＝55，∴cosα＝255.又β为锐角，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.∴α－β＝π4.第三章三角恒等变换[错因分析]　错解的原因是忽略了角的范围，误认为α－β是锐角．[正解]∵α为锐角，sinα＝55，∴cosα＝255.又β为锐角，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又α，β∈(0，π2)，sinα