高一年级数学下册（第2.4.2课时）《平面向量数量积的坐标表示模夹角》PPT教学课件

平面向量的数量积第二章平面向量2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角01自主预习学案02互动探究学案03课时作业学案CONTENT栏目导航01自主预习学案第二章平面向量“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．它们对应坐标的乘积的和1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__________________________，即a·b＝______________________两个向量垂直a⊥b⇔__________________________x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝01．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__________________________，即a·b＝______________________两个向量垂直a⊥b⇔__________________________第二章平面向量[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cosa，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．第二章平面向量2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示模|a|2＝__________或|a|＝__________设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝______________________夹角cosθ＝a·b|a||b|＝__________________(a，b为非零向量)x21＋y21x21＋y21x2－x12＋y2－y12x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y222．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示模|a|2＝__________或|a|＝__________设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝______________________夹角cosθ＝a·b|a||b|＝__________________(a，b为非零向量)x21＋y21x21＋y21x2－x12＋y2－y12x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22第二章平面向量[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得OA→＝a＝(x，y)，∴|OA→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得OA→＝a＝(x，y)，∴|OA→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．()(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1y1＋x2y2.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a⊥b，则x1y1＋x2y2＝0.()(4)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()(5)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()√××√×1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．()(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1y1＋x2y2.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a⊥b，则x1y1＋x2y2＝0.()(4)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()(5)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()第二章平面向量2．已知a＝(－1,3)，则|a|＝()A．2B．2C．10D．103．若向量a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a·b＝()A．0B．2C．－4D．－54．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则a与b的夹角为______.CD[解析]cosa，b＝a·b|a||b|＝2×－1＋－1×322＋－12＋－12＋32＝－22，∴a，b＝3π4.3π42．已知a＝(－1,3)，则|a|＝()A．2B．2C．10D．103．若向量a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a·b＝()A．0B．2C．－4D．－54．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则a与b的夹角为______.[解析]cosa，b＝a·b|a||b|＝2×－1＋－1×322＋－12＋－12＋32＝－22，∴a，b＝3π4.3π402互动探究学案第二章平面向量已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]　解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.命题方向1　数量积的坐标表示⇨典例1第二章平面向量解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.『规律总结』　进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．第二章平面向量〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　B．0　　C．1　　D．2[解析]　a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.C第二章平面向量已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，(1)求|b|与|c|；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[思路分析]　(1)根据模长公式求解；(2)根据两向量的夹角公式求解．命题方向2　利用坐标运算解决模与夹角的问题⇨典例2第二章平面向量[解析](1)∵b＝(9,12)，∴|b|＝92＋122＝15，同理|c|＝42＋－32＝5.(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－4272＋12＝－25252＝－22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m，n的夹角为3π4.[解析](1)∵b＝(9,12)，∴|b|＝92＋122＝15，同理|c|＝42＋－32＝5.(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－4272＋12＝－25252＝－22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m，n的夹角为3π4.第二章平面向量『规律总结』解决向量夹角问题的方法：先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.『规律总结』解决向量夹角问题的方法：先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.第二章平面向量〔跟踪练习2〕设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．[解析]a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)．(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5.|a＋tb|＝4＋2t2＋t－32＝5t＋12＋20.由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝522·t＋12＋4，即t2＋2t－3＝0.∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去，∴t＝1.[解析]a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)．(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5.|a＋tb|＝4＋2t2＋t－32＝5t＋12＋20.由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝522·t＋12＋4，即t2＋2t－3＝0.∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去，∴t＝1.借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．利用平行、垂直求参数典例3在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．第二章平面向量[思路分析]　找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k即可．[解析]当∠A＝90°时，AB→·AC→＝0，∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－23.当∠B＝90°时，AB→·BC→＝0，BC→＝AC→－AB→＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝113.[解析]当∠A＝90°时，AB→·AC→＝0，∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－23.当∠B＝90°时，AB→·BC→＝0，BC→＝AC→－AB→＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝113.第二章平面向量『规律总结』　解决本题的关键是要判断△ABC中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．当∠C＝90°时，AC→·BC→＝0，∴－1＋k(k－3)＝0.∴k＝3±132.综上所述：k＝－23或113或3±132.当∠C＝90°时，AC→·BC→＝0，∴－1＋k(k－3)＝0.∴k＝3±132.综上所述：k＝－23或113或3±132.已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　　)忽视向量共线致误典例4A．(－∞，－2)∪－2，12B．12，＋∞C．－2，23∪23，＋∞D．－∞，12A．(－∞，－2)∪－2，12B．12，＋∞C．－2，23∪23，＋∞D．－∞，12第二章平面向量[错解]∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<12，故选D．[错因分析]由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cosθ＞0成立，但夹角不是锐角．[错解]∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<12，故选D．[错因分析]由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cosθ＞0成立，但夹角不是锐角．第二章平面向量[正解]A∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪－2，12，故选A．[误区警示]对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cosθ>0，且cosθ≠1⇔a·b>0，且a≠mb(m>0)；θ为钝角⇔cosθ<0，且cosθ≠－1⇔a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ为直角⇔cosθ＝0⇔a·b＝0.[正解]A∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪－2，12，故选A．[误区警示]对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cosθ>0，且cosθ≠1⇔a·b>0，且a≠mb(m>0)；θ为钝角⇔cosθ<0，且cosθ≠－1⇔a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ为直角⇔cosθ＝0⇔a·b＝0.1．设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥bC[解析]由题意|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22.a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，∴a－b与b垂直．1．设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b[解析]由题意|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22.a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，∴a－b与b垂直．第二章平面向量2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)A．{2,3}B．{－1,6}C．{2}D．{6}[解析]　考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．C03课时作业学案第二章平面向量谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版