高一年级数学下册（第2.2.1课时）《向量加法运算及其几何意义》PPT教学课件

平面向量的线性运算第二章平面向量2.2.1　向量加法运算及其几何意义CONTENTS栏目导航自主预习学案01互动探究学案02课时作业学案0301自主预习学案第二章平面向量我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量的加法(1)定义：求两个向量______的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个________.和向量第二章平面向量(2)三角形法则：如图①所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作AB→＝a，BC→＝b，则向量_______叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求__________的方法叫做向量加法的三角形法则．向量和AC→(2)三角形法则：如图①所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作AB→＝a，BC→＝b，则向量_______叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求__________的方法叫做向量加法的三角形法则．AC→第二章平面向量(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图②所示)，作AB→＝a，AD→＝b，则A、B、D三点不共线，以AB→、AD→为邻边作平行四边形ABCD，则向量_______＝a＋b，这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．AC→(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图②所示)，作AB→＝a，AD→＝b，则A、B、D三点不共线，以AB→、AD→为邻边作平行四边形ABCD，则向量_______＝a＋b，这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．AC→第二章平面向量[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．第二章平面向量[知识拓展AHFF]向量求和的多边形法则①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即A0A1→＋A1A2→＋A2A3→＋…＋An－2An－1＋An－1An＝A0An→.②首尾顺次相接HK的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[知识拓展AHFF]向量求和的多边形法则①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即A0A1→＋A1A2→＋A2A3→＋…＋An－2An－1＋An－1An＝A0An→.②首尾顺次相接HK的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.第二章平面向量2．向量加法的运算律(1)向量加法的交换律已知向量a、b，如图所示，作AB→＝a，BC→＝b，如果A、B、C不共线，则AC→＝a＋b.2．向量加法的运算律(1)向量加法的交换律已知向量a、b，如图所示，作AB→＝a，BC→＝b，如果A、B、C不共线，则AC→＝a＋b.第二章平面向量作AD→＝b，连接DC，如果我们能证明DC→＝a，那么也就证明了加法交换律成立．由作图可知，AD→＝BC→＝b，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了DC→＝a，从而__________________，即向量的加法满足交换律．a＋b＝b＋a作AD→＝b，连接DC，如果我们能证明DC→＝a，那么也就证明了加法交换律成立．由作图可知，AD→＝BC→＝b，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了DC→＝a，从而__________________，即向量的加法满足交换律．第二章平面向量(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)向量加法的结合律如图，作AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，由向量加法的定义，知AC→＝AB→＋BC→＝a＋b，BD→＝BC→＋CD→＝b＋c，所以AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，AD→＝AB→＋BD→＝a＋(b＋c)．从而__________________________________，即向量的加法满足结合律．(2)向量加法的结合律如图，作AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，由向量加法的定义，知AC→＝AB→＋BC→＝a＋b，BD→＝BC→＋CD→＝b＋c，所以AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，AD→＝AB→＋BD→＝a＋(b＋c)．从而__________________________________，即向量的加法满足结合律．第二章平面向量[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．第二章平面向量3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系(1)对于任意向量a，b，都有_____________________≤__________；(2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝_____________；(3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝__________或__________)．[知识点拨]根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．当a与b共线时，取等号．||a|－|b||≤|a＋b||a|＋|b||a|＋|b||a|－|b||b|－|a|×1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．()(2)对于任意的点A，B，C，D，都有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．()(4)若AB→＋BC→＋CA→＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．()(5)若a，b是共线向量，则必有|a＋b|＝|a|＋|b|.()√×××1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．()(2)对于任意的点A，B，C，D，都有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．()(4)若AB→＋BC→＋CA→＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．()(5)若a，b是共线向量，则必有|a＋b|＝|a|＋|b|.()第二章平面向量2．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c.[解析]　a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．第二章平面向量解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，再作CD→＝c，则AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，即AD→＝a＋b＋c.解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，再作CD→＝c，则AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，即AD→＝a＋b＋c.第二章平面向量解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA→、OB→为邻边作□OADB，则对角线OD→＝a＋b，再作OC→＝c，以OC→、OD→为邻边作□OCED．则OE→＝a＋b＋c.解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA→、OB→为邻边作□OADB，则对角线OD→＝a＋b，再作OC→＝c，以OC→、OD→为邻边作□OCED．则OE→＝a＋b＋c.02互动探究学案第二章平面向量(1)如图，已知a、b，求作a＋b.命题方向1　向量的加法及几何意义⇨典例1第二章平面向量(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.[思路分析]　(2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．第二章平面向量[解析](1)①AC→＝a＋b②AC→＝a＋b[解析](1)①AC→＝a＋b②AC→＝a＋b第二章平面向量(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．第二章平面向量作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求．第二章平面向量『规律总结』　(1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．第二章平面向量〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．[解析]如下图中(1)、(2)所示，首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.[解析]如下图中(1)、(2)所示，首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.第二章平面向量化简下列各式：命题方向2　向量加法运算律的应用⇨典例2(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→.[思路分析]首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→.[思路分析]首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．第二章平面向量[解析](1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DA→＝0.(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DE→)＋EA→＝AC→＋CE→＋EA→＝AE→＋EA→＝0.[解析](1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DA→＝0.(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DE→)＋EA→＝AC→＋CE→＋EA→＝AE→＋EA→＝0.第二章平面向量『规律总结』　向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．第二章平面向量〔跟踪练习2〕如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB→＋DF→＝______；(2)AD→＋FC→＝______；(3)AD→＋BC→＋FC→＝______.AC→AB→AC→〔跟踪练习2〕如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB→＋DF→＝______；(2)AD→＋FC→＝______；(3)AD→＋BC→＋FC→＝______.AC→AB→AC→第二章平面向量[解析]由已知可得四边形DFCB是平行四边形．(1)易知DF→＝BC→.由三角形法则得：AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)易知FC→＝DB→，所以AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.(3)AD→＋BC→＋FC→＝AD→＋DF→＋FC→＝AC→.[解析]由已知可得四边形DFCB是平行四边形．(1)易知DF→＝BC→.由三角形法则得：AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)易知FC→＝DB→，所以AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.(3)AD→＋BC→＋FC→＝AD→＋DF→＋FC→＝AC→.向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．向量加法的实际应用在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[思路分析]　解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．典例3第二章平面向量[解析]如图所示，设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.[解析]如图所示，设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.第二章平面向量依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.第二章平面向量〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．第二章平面向量[解析]如图，设CE→、CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|CE→|＝|CG→|cos30°＝10×32＝53.|CF→|＝|CG→|cos60°＝10×12＝5.∴A处所受的力的大小为53N，B处所受的力的大小为5N．[解析]如图，设CE→、CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|CE→|＝|CG→|cos30°＝10×32＝53.|CF→|＝|CG→|cos60°＝10×12＝5.∴A处所受的力的大小为53N，B处所受的力的大小为5N．若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则(　　)A．a，b同向共线B．a，b反向共线C．a，b同向共线且|b|>|a|D．a，b反向共线且|b|>|a|[错解]　B对不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误典例4第二章平面向量[辨析]　错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系．[正解]　D　由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．[误区警示]　弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(2)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|则a＋b＝0.第二章平面向量〔跟踪练习4〕已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　)A．与向量a的方向相同B．与向量a的方向相反C．与向量b的方向相同D．不确定AD1．设a表示“向东走5km”，b表示“向南走5km”，则a＋b表示()A．向东走10kmB．向南走10kmC．向东南走10kmD．向东南走52km[解析]如图所示，AC→＝a＋b，|AB→|＝5，|BC→|＝5，且AB⊥BC，则|AC→|＝52，∠BAC＝45°.1．设a表示“向东走5km”，b表示“向南走5km”，则a＋b表示()A．向东走10kmB．向南走10kmC．向东南走10kmD．向东南走52km[解析]如图所示，AC→＝a＋b，|AB→|＝5，|BC→|＝5，且AB⊥BC，则|AC→|＝52，∠BAC＝45°.第二章平面向量B2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()A．EF→＝OF→＋OE→B．EF→＋OE→＝OF→C．EF→＝FO→＋OE→D．EF→＝FO→＋EO→[解析]可以画出图形，用三角形法则找出正确答案．2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()A．EF→＝OF→＋OE→B．EF→＋OE→＝OF→C．EF→＝FO→＋OE→D．EF→＝FO→＋EO→[解析]可以画出图形，用三角形法则找出正确答案．第二章平面向量C3．向量(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简结果为()A．BC→B．AB→C．AC→D．AM→[解析]原式＝AB→＋BO→＋MB→＋BC→＋OM→＝AO→＋OM→＋MC→＝AM→＋MC→＝AC→.3．向量(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简结果为()A．BC→B．AB→C．AC→D．AM→[解析]原式＝AB→＋BO→＋MB→＋BC→＋OM→＝AO→＋OM→＋MC→＝AM→＋MC→＝AC→.第二章平面向量D4．已知P为△ABC所在平面内一点，当PA→＋PB→＝PC→成立时，点P位于()A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部[解析]如图PA→＋PB→＝PC→，则P在△ABC的外部．4．已知P为△ABC所在平面内一点，当PA→＋PB→＝PC→成立时，点P位于()A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部[解析]如图PA→＋PB→＝PC→，则P在△ABC的外部．第二章平面向量C5．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A．AB→＝CD→，BC→＝AD→B．AD→＋OD→＝DA→C．AO→＋OD→＝AC→＋CD→D．AB→＋BC→＋CD→＝DA→[解析]因为AO→＋OD→＝AD→，AC→＋CD→＝AD→，所以AO→＋OD→＝AC→＋CD→.5．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A．AB→＝CD→，BC→＝AD→B．AD→＋OD→＝DA→C．AO→＋OD→＝AC→＋CD→D．AB→＋BC→＋CD→＝DA→[解析]因为AO→＋OD→＝AD→，AC→＋CD→＝AD→，所以AO→＋OD→＝AC→＋CD→.03课时作业学案第二章平面向量谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版