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人教版八年级期末《几何部分专项复习》教学教案

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人教版八年级期末《几何部分专项复习》教学教案文字介绍:甲DCABFE乙DCABDCABODCABEDCABEO亲爱的同学们：从今天开始，我们将步入期末总复习阶段，大考临近，怠慢不得！希望同学们通过复习，巩固前面所学的知识，同时掌握前面没有掌握的知识，让自己在期末考试中考出满意的成绩，让自己过一个开开心心的年，今年过节不收礼啊，收礼只收压岁钱！第一部分：空间与几何（专项复习）第一回：全等三角形的概念及性质1、本回复习目标（1）本节你要知道什么是全等形？什么是全等三角形？还有要知道全等三角形的性质？当然要知道全等三角形的性质的前提是要知道什么的对应边、对应角了。（2）对边与对应边、对角与对应角你区分清楚了吗？（3）全等的符号你会写吗？能用符号正确地表示两个三角形全等吗？（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）2、全等的概念两个三角形全等是指两个三角形有一种美妙的关系，这种美妙关系体现在：①说得吃皮点儿就是：两个三角形的大小（涉及边）相等、形状（涉及角）相同。②说得俗气点儿就是：两个三角形能够完全重合。3、常见的三种模型全等（1）如图甲：将△ABC平移得△DEF（四面八方平移均可）△ABC≌△DEF（平移法）（2）如图乙：将△ABC沿其中一条边翻折180°得到△DBC△ABC≌△DBC（翻折法）（3）如图丙：将△ABC绕其中一点旋转180°得△AED△ABC≌△AED（旋转法）4、例题讲解[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．第二回：全等三角形的条件（生活中少数服从多数在数学上的经典体现）1、已知△ABC≌△A′B′C′，则（1）相等的边是：①AB=A′B②BC=B′C′③AC=A′C．丙DCABEDCBAFDCBEA（2）相等的角是：④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′2、我们假设把①②③④⑤⑥这6个条件当成是决定△ABC≌△A′B′C′的6个人，这6个条件在题目条件中如果出现（表示赞成），没有出现（表示反对）（1）如果题目条件中有6个条件都出现，则表示6个人都赞成△ABC≌△A′B′C′，一致通过。（2）如果题目条件中有5个条件都出现，则表示5个人都赞成，有1个反对，根据少数服从多数原则，反对无效，△ABC≌△A′B′C′通过。（3）如果题目条件中有4个条件都出现，则表示4个人都赞成，有2个反对，根据少数服从多数原则，反对无效，△ABC≌△A′B′C′通过。（4）如果题目条件中有2个条件都出现，则表示2个人都赞成，有4个反对，根据少数服从多数原则，反对有效，△ABC≌△A′B′C′通不过。（5）如果题目条件中有1个条件都出现，则表示1个人都赞成，有5个反对，根据少数服从多数原则，反对有效，△ABC≌△A′B′C′通不过。（6）如果题目条件中有0个条件都出现，则表示0个人都赞成，有6个反对，△ABC≌△A′B′C′一致通不过。（7）如果题目条件中有3个条件都出现（有4种大情况：三内角、三条边、两边一内角（两种小情况：两边及夹角、两边及一边对角）、两内角一边（两种小情况：两角及夹边、两角及一角对边）），则表示3个人都赞成，有3个反对，此时不能根据少数服从多数的原则了，那么我们此时关心的是上面6个条件中哪3个来了就可以判断△ABC≌△A′B′C′呢？江***的“三个代表”思想就在这里有用处了！要想知道结果如何，请看下文分解！3、判断三角形全等的各种招式（1）第一招：边边边（SSS）（即三边对应相等的两个三角形全等）[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．练：如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．求证：△ABC≌△FDE（2）第二招：边角边（SAS）（即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等）（注意是夹角哦）例1已知：AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADC≌△CBA．练：已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．练：如图：AD∥BC、AD＝CB，要用SAS证明△ADF≌△CEB，还需要添加什么条件？1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．思考题：两边即一边的对角分别对应相等的两个三角形在什么情况下全等？（以前讲过的哦，下面这个题就可以用到）例：在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC，求证：BP=CP.（此题方法不止一种哦！！！）（3）第三招：两角一边AASASA（相当于三角一边即有4个条件）AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等ASA：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[例]如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．DCABE(4)第四招：HL：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。（相当于两边及一边的对角）上面的思考题从此你有什么启发？如果你没有任何启发，那就问班上一同学吧！这个同学姓秦名思考[例]、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）练：1、自己画图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）在Rt△和Rt△中∴≌（）∴∠=∠（）∴（内错角相等，两直线平行）第三回：角平分线的性质（看到角平分线就要想到性质）1、本回复习目标（1）应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．（2）会用尺规作一个已知角的平分线．（必会才行）（3）角平分线的性质：（4）角平分线的判定：2、如右图：在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC（即说明射线OC为∠AOB的平分线）（1）（全等知识说明角平分线原理）（2）（角平分线的性质）（3）（角平分线的判定）注意：（1）（2）（3）中各自已知是什么，要证明的又是什么.3、角平分器（工具）的原理：四边形ONCM中，△OCM≌△OCN∠COM=∠CON射线OC为∠AOB的平分线.4、尺规作图（用尺规作一个角的角平分线）作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．思考：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？总结：1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．（外部的交点与顶点的连线得到的射线是优角∠AOB的平分线）3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．5、在直角三角形中画锐角的平分线的方法：（以Rt△ACB中画∠ABC的角平分线为例）（1）在AB上取点E，使BE=BC（2）作DE⊥AB交AC于D（3）连接BD,那么BD就是∠ABC的平分线（注意三角形内角的平分线是线段哦）请你解释这种方法的合理性：例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．说明：（1）如果连接AP，则有（2）条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．第四回：特殊的三角形（等腰和等边三角形）1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以△BAD≌△CAD（SSS）．所以∠B=∠C．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以△BAD≌△CAD．所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．例如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．练：（1）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°（2）已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个等腰三角形的边长．(3)若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?（4）①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．DCABDCABDCAB　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．(5)①如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？　　②上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？2、等边三角形的性质(1)性质与判定①等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．②等边三角形每一个角相等，都等于60°③三个角都相等的三角形是等边三角形．④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中①②是等边三角形的性质；③④的等边三角形的判断方法．例如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。练：（1）图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD的度数。（2）已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．DCBA（3）已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?（仔细思考哦！）3、直角三角形中，如果有一个锐角为30°，则30°所对的直角边是斜边的一半。例：已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥AB于B,∠ABC=120o,求证:BC=2AB例：如图所示,在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.思考：如果△CDE与△ABC在直线AE的两侧，△CMN是一个什么三角形？练习：如图所示,在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧，BE交DC于点G，AD交BC于点F，BE和AD交于点H，则①AD＝BE②AF＝BG③FG∥AE④∠EHC＝∠AHC第五回：常见的辅助线的作法1、与中线有关的问题（倍长中线法）例题：已知△ABC中，AD是△ABC的中线，求证：EDFCBA练习：1、如图，在△ABC中，AC=DC，E为DC的中点，D为BC的中点，求证：①AB=2AE②AD平分∠BAE2、如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，D为BC的中点且DE⊥DF，试比较BE+FC与EF的大小关系.2、与角平分线有关的问题（1）在角的两边截取相同长度的线段构造全等三角形例：如图，射线AD平行射线BC，∠BAD的角平分线为AE、∠ABC的角平分线为BE，AE、BE相交于点E，过点E的直线交射线AD于点D，交射线BC于点C，求证：①∠AEB=90°②AD+BC=AB（此题方法不止一种哦！！！）（2）在角平分线上找一点，过这点作角两边的垂线（用角平分线的性质）例：在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC，求证：BP=CP.（此题方法不止一种哦！！！）例：如图，在梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，BE、CE分别是∠ABC与∠BCD的角分线，求证：AB+CD=BC(说明：此题关于角平分线的上面两种辅助线作法均可)第六回：几何证明题1、（1）如图，已知ABACADAE，．求证BDCE．2、如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上。（1）求证：△AOC≌△BOD3、如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.4、如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE.当点D在线段AM上(点D不运动到点A、M)时，是判定AD与BE的大小5、如图10，已知，,与相交于点，连接．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．（方法不止一种哦）6、如图，已知点EC，在线段BF上，，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出ABCDEF△≌△．并予以证明．（写出一种即可）已知：　　　　，　　　　．求证：ABCDEF△≌△．证明：7、如图所示，，，，求证：①；②CD=DB；③；④8、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．9、如图，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，证明：BC＝AD练习：1、如图，AC＝BD，BC＝AD，证明：∠CAB＝∠DBACEBFDA10、如图，AC=BD，∠C=∠D证明：（1）AO=BO（2）CO=DO（3）BC=AD11、如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.12、求证：三角形的一边的两端点到这边的中线或者中线延长线的距离相等。13、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，求△DEB的周长。第七回：数学中的对称美1、前言：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．2、本回复习目标：（1）能够识别生活中和数学中常见的轴对称图形并找出它们的对称轴．（有可能不止一条哦）（2）理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．（3）两个图形成轴对称有什么性质？轴对称图形有什么性质？（4）线段垂直平分线的性质（这是重点）（5）什么叫做轴对称变换？如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形？（6）点(x,y)关于x轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标3、轴对称图形与两个图形成轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．如注意：①有些轴对称图形的对称轴只有一条，有些轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。②轴对称图形是针对一个图形而言的.（2）两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．（即两个图形成轴对称）这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如左边下图：注意：①是两个图形，这两个图形全等。总结：①成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．②轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．③轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4、线段垂直平分线的性质（1）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？①显然：AA′、BB′和CC′与MN垂直．②MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．③我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（即直线MN是线段AA′、BB′、CC′垂直平分线）（2）轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．（3）①作出线段AB②过AB中点C作AB的垂直平分线L③在L上任意取一点P，连结AP④AP=BP（请你证明）：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.（注意是距离）（4）还是上面的图①作出线段AB②在AB外找一点P，使得PA=PB③证明点P在线段AB的垂直平分线上分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上即是要证明过点P的某一条直线是线段AB的垂直平分线，那么这么一条神秘的直线我们怎么用我们的火眼金睛发现它呢？这里教你一招：试探法试探一：过点P作AB的垂线PC，如果我们能证明我们作的这条垂线PC就是线段AB的垂直平分线的话,问题不就解决啦！（好了，不多说了，你能解决的！）AC=BC直线PC是线段AB的垂直平分线过点P的直线PC为线段AB的中垂线点P在线段AB的垂直平分线上（请你写出证明过程）试探二：找出AB的中点，连接PC，要是我们能证明PC所在直线就是AB的中垂线的话问题也得到解答咯！直线PC是线段AB的垂直平分线过点P的直线PC为线段AB的中垂线点P在线段AB的垂直平分线上（请你写出证明过程）总结：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．（5）①成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上②对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．5、轴对称变换（上右图）（1）由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．反过来，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．①作点A、B、C关于直线对称点A′、B′、C′②连接A′B′、B′C′、A′C′③△A′B′C′即为△ABC的对称图形（2）由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连结任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．①我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．②成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．③一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．6、①点P（x，y）关于x轴（直线y=0）的对称点的坐标是：②点P（x，y）关于y轴（直线x=0）的对称点的坐标是：③点P（x，y）关于直线x=m的对称点的坐标是：④点P（x，y）关于直线y=n的对称点的坐标是：方法：①过点P作直线的垂线②在直线的两边截取相同的长度（关于原点对称一样的）第八回尺规作图1、如图,在平面直角坐标系中,点(0,8),点(6,8).(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点，使点同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法)：1）点P到，两点的距离相等；2）点P到的两边的距离相等.(2)在(1)作出点后,写出点的坐标.2、如图，有分别过A、B两个加油站的公路、相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路、的距离也相等。请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．第九回：难题挑战1、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．AQCDBP

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